L'amplificateur opérationnel est parfait et sa bande passante n'est pas limitée.
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Soit le montage intégrateur de la figure 1 suivante :
L'amplificateur opérationnel est parfait
et sa bande passante n'est pas limitée.
Rappeler l'expression de sa fonction de transfert Hi(p) en fonction de la constante de temps t = RC
En déduire sa réponse impulsionnelle hi(t)
Rappel : le transformée de Laplace de l'échelon unité est 1/p.
Cette réponse impulsionnelle correspond-elle à un système stable ou instable ?
On définit le système échantillonné S à partir de l'intégrateur précédent de la façon suivante :
La réponse impulsionnelle h(n) de S est constituée des échantillons obtenus en échantillonnant la réponse impulsionnelle de l'intégrateur ci-dessus aux instants nT, où T est la période d'échantillonnage : h(n) = hi(nT)
S est-t-il stable ?
S est-il causal ?
Écrire la relation entre les échantillons de sortie y(n) et y(n-1) de S, faisant intervenir éventuellement un ou plusieurs échantillons de l'entrée. En déduire l'équation aux différences de S.
Faire le schéma bloc du système S, utilisant additionneurs, mémoires et multiplicateurs par constantes
Déduire de l'équation aux différences ci-dessus la fonction de transfert en z de S, H(z).
En déduire l'expression du gain complexe
.
Tracer l'allure du module de ce gain complexe pour
On considère maintenant le système échantillonné S' dont la réponse impulsionnelle h'(n) se déduit de celle de S de la façon suivante :
h'(n) = h(n) pour n < N,
h'(n) = 0 pour n N
S' est-il stable ?
S' est-il causal ?
Écrire la relation entre les échantillons de sortie y(n) et y(n-1) de S', faisant intervenir éventuellement un ou plusieurs échantillons de l'entrée. En déduire l'équation aux différences de S'.
Déduire de l'équation aux différences ci-dessus la fonction de transfert en z de S', H'(z).
En déduire l'expression du gain complexe
.
Tracer l'allure du module de ce gain complexe pour
Une diode tunnel est un composant résistif (en première approximation) dont la caractéristique courant-tension a l'allure suivante (figure 2) :
FIGURE
2
Pour cet exercice, la diode est modélisée par le segment de droite dont les extrémités sont de coordonnées :
v = 0 mV, i = 1 mA
v = 400 mV, i = 0 mA
Quelle est la valeur de la résistance négative ?
On insère la diode dans un montage destiné à la polariser au milieu du segment défini ci-dessus.
Le montage de polarisation est représenté par le générateur de Thévenin constitué d'une source de tension e = 300 mV en série avec une résistance rg (voir la figure 3 ci-dessous) :
FIGURE
3
Le circuit de polarisation est en fait réalisé par le schéma de la figure 4, constitué d'une source de tension constante V de 1500 mV et un pont diviseur R1,R2 :
Calculer les valeurs à donner à R1 et R2 pour que ce pont de polarisation soit équivalent au générateur de Thévenin ci-dessus
FIGURE
4
Le montage à étudier reprend le montage de la figure 4 et insère un condensateur et une inductance (de résistance négligeable). Le condensateur et l'inductance sont connectées en parallèle, l'ensemble est en série avec la diode tunnel (figure 5).
On considérera le schéma linéaire équivalent dans l 'approximation des petits signaux.
Dessiner le circuit linéaire équivalent au montage dans l'approximation des petits signaux. Ce montage équivalent fera intervenir le générateur de Thévenin équivalent au circuit de polarisation, la résistance négative correspondant à la pente de la caractéristique de la diode tunnel au voisinage du point de polarisation ainsi que L et C
Écrire une fonction X(p) de la variable complexe p, (fonction de transfert ou immittance du montage), qui permet d'étudier sa stabilité dans l'approximation des petits signaux.
En étudiant directement les pôles de X(p), écrire la ou les condition(s) pour que :
le montage soit instable,
les pôles soient complexes conjugués.
Ces conditions sont-elles satisfaites dans le montage actuel ?
Caractériser l'oscillation qui prend naissance lorsque le système est à la limite de la stabilité.
On fera l'application numérique pour L = 0,2 mH et C = 10 pF
On va étudier dans cette partie les propriétés de l'oscillation du montage de la partie A. II. 2 lorsqu'un régime permanent est établi (l'oscillateur a démarré et délivre une oscillation d'amplitude et de fréquence constantes).
Il faut maintenant tenir compte des non linéarités. Le montage est le même que dans la partie A. II. 2 mais la caractéristique courant-tension de la diode tunnel est non linéaire et représentée (approximativement) par l'équation :
V est la tension aux bornes de la diode, I est le courant qui la traverse,
V0 = 200 mV, I0 = 0,5 mA
La diode est polarisée à une tension Vp, le courant correspondant est Ip
La pente de la caractéristique au voisinage du point (V0,I0) est égale à celle du segment de droite qui modélise la diode à la question A. II. 1. Quelle est la valeur de g ?
La pente de la caractéristique s'annule pour V=V0-150 mV et V=V0+150 mV. Quelle est la valeur de g ? Que vaut le rapport g/g ?
Montrer que l'approximation du premier harmonique peut s'appliquer pour l'étude du régime stabilisé de l'oscillateur.
Caractériser le composant linéaire
équivalent à la diode dans l'approximation du premier
harmonique. On supposera pour cela qu'une composante alternative de
tension de la forme
existe aux bornes de la diode et on calculera la composante
fondamentale du courant i(t) correspondant.
Utiliser les résultats précédents et la formule de Barkhausen pour déterminer l'amplitude et la fréquence de l'oscillation.
Calculer les valeurs numériques de la fréquence et de l'amplitude de l'oscillation pour :
Vp = 100 mV
L = 0,2 mH et
C = 10 pF
La résistance du générateur de Thévenin équivalent au circuit de polarisation est celle déterminée à la question A. II. 1.
Comment contrôler l'amplitude de l'oscillateur en agissant sur une tension du montage ?
Proposer un montage utilisant une diode varicap qui permette de contrôler la fréquence de l'oscillateur en agissant sur une tension du montage.