Module EA - Examen du 5/1/2004 - Solution

A.Partie A

I Filtres simples, continu et échantillonné

1 Intégrateur à temps continu

a Fonction de transfert

b Réponse impulsionnelle

Transformée de Laplace inverse : , (échelon unité).

c Stabilité

L'intégrale n'est pas bornée : montage instable.

2 Intégrateur échantillonné

a Stabilité

n'est pas bornée : montage instable.

b Causalité

H(n) = 0 pour n<0 : le montage est causal

c Équation aux différences

On passe donc de l'échantillon de sortie numéro n-1 à l'échantillon de sortie numéro n en ajoutant l'échantillon d'entrée numéro n (multiplié par ) : l'équation aux différences est :

d Schéma bloc

e Fonction de transfert en z

f Gain complexe

Cette expression tend vers l'infini pour , en particulier pour la fréquence nulle comme pour l'intégrateur analogique. Elle vaut pour , en particulier pour

3 Intégrateur échantillonné modifié

a Stabilité

Réponse impulsionnelle finie, donc stable.

b Causalité

H(n)=0 pour n<0 : système causal.

c Équation aux différences

d'où l'équation aux différences :

d Fonction de transfert en z

e Gain complexe

Cette fonction ne tend pas vers l'infini à la fréquence nulle, mais vaut

La figure ci-dessous représente les variations du carré du module du gain complexe, normalisé par rapport à 1/t, pour N=5, comparé avec le filtre à RII

II
Oscillateur à résistance négative

1 Diode tunnel

a Modélisation

b
Polarisation

i Générateur de Thévenin

. (voir la figure)

c Pont de polarisation

2 Montage oscillateur

a Circuit linéaire équivalent

Ce modèle est imparfait car il ne tient pas compte des pertes (en particulier dans la bobine puisqu'on a négligé sa résistance). On peut en tenir compte en introduisant une résistance R=1/G en parallèle avec cette bobine, donc avec l'ensemble. On est alors ramené au schéma vu en cours :

b
Mise en équation

Voir le cours. Impédance Z par exemple (autres approches possibles)

ou bien : si on tient compte des pertes (ce qui n'était pas demandé)

c Instabilité

Pôles complexes conjugués :

ou bien

Partie réelle positive : ou bien

La deuxième condition est satisfaite par construction (avec G = 0). La première impose des limites sur le choix de L et C si r et r_g sont imposés

d Comportement

Limite de stabilité : pôles imaginaires purs de la forme

Partie réelle du dénominateur nulle :

Partie imaginaire du dénominateur nulle :

• si G est nulle, il est impossible d'annuler cette partie imaginaire (il faudrait g = 0)

• si G n'est pas nulle (on tient compte des pertes) :

On fera l'application numérique pour L = 0,2 mH et C = 10 pF

B.Partie B

I Modélisation de la diode

1 valeur de g et g

V = V₀ donne : r est la valeur calculée ci-dessus.

II Premier harmonique

1 Validité

Le circuit résonant présente une faible impédance pour les harmoniques de rang supérieur à 1

2 Montage linéaire équivalent

En posant :

Les harmoniques apparaissent dans les puissances du cosinus :

Si on élimine les harmoniques 2 et 3 on a :

La composante alternative à la fréquence fondamentale est donc :

La diode est donc caractérisée par une admittance

On retrouve la même valeur que pour l'exemple du cours pour (polarisation au centre de symétrie de la caractéristique).

III Oscillation

1 Fréquence et amplitude

Le système linéaire équivalent à l'oscillateur en régime établi, dans l'approximation du premier harmonique, satisfait le critère de Barkhausen (il est à la limite de l'oscillation). Il faut donc tenir compte des pertes, matérialisées par R (ou G) dans les réponses précédentes, sinon on ne peut être à la limite de stabilité que pour , ce qui n'est pas réalisable.

La fréquence d'oscillation est donc celle calculée dans la partie A :

L'amplitude est donnée par la relation trouvée dans la partie A : où r est donné par

On peut donc écrire :, ce qui donne la valeur de l'amplitude de l'oscillation dv :

2 Application numérique

Comme pour la partie A :

Si on néglige les pertes dans la bobine (R très grand ) :

3 Contrôle de l'amplitude

La tension de polarisation permet de contrôler l'amplitude (par l'intermédiaire de Dv_p)

4 Contrôle de la fréquence

Varicap (voir le cours)