Durée : 3 heures

Aucun document autorisé

Justifiez toutes vos réponses, succinctement mais clairement.

1 Filtre actif

a Filtre passe haut

On va réaliser un filtre passe haut de Butterworth.

i Cahier des charges

Dessiner le gabarit du filtre passe haut suivant :

1. fréquence de coupure : 1 kHz.

2. atténuation à la coupure : 3 dB

3. atténuation d'au moins à 20 dB pour les fréquences inférieures à 500 Hz

On prendra des coordonnées logarithmiques pour le gain.

ii Filtre passe bas prototype

Calculer les paramètres du gabarit du filtre passe bas prototype du filtre passe haut ci-dessus.

Dessiner le gabarit de ce filtre passe bas prototype

iii Fonction d'approximation du passe bas prototype

iii.1 Quelle est la forme générale de la fonction d'approximation d'un filtre de Butterworth ?

Quels sont ses paramètres, en particulier l'ordre du filtre ?

iii.2 Paramètres de la fonction d'approximation du filtre passe bas prototype

Déterminer les paramètres de la fonction d'approximation du filtre de Butterworth qui s'inscrit dans le gabarit du filtre passe bas prototype ci-dessus.

Quel est l'ordre de ce filtre ?

iv Fonctions de transfert du passe bas prototype

Calculer la fonction de transfert de la variable réduite s du filtre passe bas prototype

v Fonction de transfert du filtre passe haut

v.1 Fonction de transfert en s

Calculer la fonction de transfert de la variable réduite s du filtre passe haut transposé de ce filtre passe bas.

v.2 Fonction de transfert de la variable de Laplace p

En déduire la fonction de transfert de la variable complexe p de ce filtre passe haut

b Circuit

i Quadripôles Q1 et Q2

i.1 Quadripôle Q1

Soit le quadripôle de la figure 1 ci dessous :

Figure 1 : le quadripôle Q1

Calculez les éléments de sa matrice admittance définis par :

i.2 Quadripôle Q2

Soit le quadripôle de la figure 2 ci-dessous :

Figure 2 : le quadripôle Q2

Calculez les éléments de sa matrice admittance , définis par :

ii Montage

Soit le montage de la figure 3 ci dessous, qui utilise les deux quadripôles Q1 et Q2 ci-dessus (A est un amplificateur opérationnel parfait) :

Figure 3 : le montage

ii.1 Gain en tension en fonction des paramètres y des quadripôles

Calculer son gain en tension en fonction de certains des coefficients des matrices admittances des deux quadripôles.

ii.2 Gain en tension en fonction des composants

On pose dans les quadripôles :

Calculer le gain en tension du montage en fonction de R, C et C₂.

ii.3 Propriétés du montage

Montrer que ce montage est un filtre passe haut. Quel est son ordre ?

ii.4 Utilisation du montage

1. Montrer que ce montage peut être utilisé pour réaliser le filtre passe haut défini en 1. a. i. en assemblant plusieurs cellules construites sur ce schéma.

2. Combien de cellules sont-elles nécessaires

3. Déterminer les relations qui permettent de calculer les valeurs des composants de chaque cellule

2 Filtres échantillonnés

a Séquences et échantillons

i Définitions

1. Qu'est-ce qu'une séquence ? un échantillon ?

2. Qu'appelle-t-on période d'échantillonnage ?

3. Définir la séquence "impulsion unité".

4. Comment appelle-t-on la réponse d'un système linéaire échantillonné à la séquence impulsion unité ?

ii Séquence retardée.

Soit la séquence constituée des échantillons . Donner la valeur de chaque échantillon de la séquence qui se déduit de la précédente par un retard de échantillons.

b Fonction de transfert en z

i Définitions

1. Donner la définition de la transformée en z de la séquence .

2. Quelle est la relation entre la réponse impulsionnelle et la fonction de transfert en z d'un système échantillonné linéaire ?

ii Séquence retardée

Donner la relation entre la transformée en z de la séquence et la transformée en z de la séquence qui se déduit de la séquence par un retard de échantillons.

iii Exercice 1

Soit un système linéaire échantillonné défini par l'équation aux différences :

est la séquence appliquée en entrée et est la séquence de sortie.

1. Calculer la fonction de transfert en z de ce système.

2. Ce système est-il stable ?
   Rappel : un système échantillonné est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en z sont de module inférieur à 1.

3. Donnez l'expression du gain complexe de ce système

4. Tracer l'allure des variations du carré du module de ce gain complexe dans l'intervalle pour .

5. En calculant les valeurs des échantillons de sortie lorsque la séquence d'entrée est l'impulsion unité, calculer la réponse impulsionnelle du système.

iv Exercice 2

Soit un système linéaire échantillonné défini par l'équation aux différences :

est la séquence appliquée en entrée et est la séquence de sortie.

1. Calculer la fonction de transfert en z de ce système.

2. Ce système est-il stable ?
   Rappel : un système échantillonné est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en z sont de module inférieur à 1.