Module EO – Première session

2001/2002 - 14/1/2002

1. Stabilité des systèmes linéaires à temps continu

a. Conditions nécessaires et suffisantes

Rappeler les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un système soit stable :

b. Gain en boucle ouverte

Comment calcule-t-on le gain en boucle ouverte d’un système dont on connaît la fonction de transfert ?

C'est le dénominateur de cette fonction de transfert -1

c Critère de Nyquist

Expliquer comment le critère de Nyquist permet de connaître le nombre de pôles à partie réelle positive d’une fonction de transfert.

En particulier, détaillez les informations qui doivent compléter celle(s) données par le critère de Nyquist.

Il donne la différence entre le nombre de zéros à partie réelle positive et le nombre de pôles à partie réelle positive du dénominateur de la fonction de transfert.

Pour conclure quant à la stabilité, il faut donc connaître en plus

(on suppose qu'il n'y a ni pôles ni zéros communs au numérateur et au dénominateur)

d. Instabilité et oscillateur quasi-sinusoïdal

À quelle condition un système instable montre-t-il un comportement oscillatoire quasi sinusoïdal ?

Il faut qu'il possède au moins une paire de pôles complexes conjugués

2. Circuit

a. Fonction de transfert du circuit de la figure 1

Calculer la fonction de transfert du circuit de la figure 1.

ce qui donne (et c'est facile avec le graphe de fluence !) :

Montrer que cette fonction de transfert peut s’écrire sous la forme suivante :

C'est la forme de la deuxième expression trouvée ci-dessus.


b. Calcul des paramètres de G1(p)

Calculer les paramètres K1, w1 et le facteur de qualité Q1 de ce circuit en fonction de r, C1, C2, R2.

Par identification :

c. Application numérique

r = 1 kW, R2=10 kW, C1=1 nF, C2=100 nF.

Donner les valeurs numériques de K1, w1 et Q1

3. Oscillateur

Le circuit de la figure 1 est utilisé pour fabriquer un oscillateur selon le montage de la figure 3. Dans ce montage, k est un amplificateur de tension idéal (impédance d’entrée infinie, impédance de sortie nulle, gain indépendant de la fréquence) de gain en tension réel k.

a. Gain en boucle ouverte

Calculer le gain en boucle ouverte GBO(p) du montage de la figure 3.

Mise en équation :

Avec l'aide du graphe de fluence, on verrait immédiatement que . Sans l'aide du graphe de fluence, il faut imaginer une entrée quelque part dans le circuit, entrée que l'on attaque avec une tension nulle :

La fonction de transfert est alors et le gain en boucle ouverte s'en déduit.

b. Lieu de Nyquist

Le lieu de Nyquist de est un cercle centré sur l'axe réel, passant par les points (pour ) et (pour ). Le lieu du gain en boucle ouverte est donc également un cercle centré sur l'axe réel, à droite ou à gauche de l'origine selon le signe de . Avec les valeurs numériques, on a . Le lieu de Nyquist entoure le point critique si (pour les valeurs numériques ci dessus).

c. Démarrage d’une oscillation

Exprimer la condition que doit satisfaire le gain k de l’amplificateur de tension pour qu’une oscillation prenne naissance dans le circuit.

Le lieu de Nyquist entoure le point critique si (pour les valeurs numériques ci dessus).

Les pôles de la fonction de transfert sont complexes conjugués (comportement oscillatoire) si environ (pour les valeurs numériques ci-dessus)

Quelle est la fréquence f0 de cette oscillation lorsque l’on est à la limite du comportement oscillatoire ?

Condition limite pour , on a alors les pôles complexes conjugués. La fréquence de cette oscillation est donc

d. Régime stabilisé

Calculer l’amplitude S et la fréquence f de l’oscillation lorsque le régime stabilisé est atteint.

Régime stabilisé : ce qui donne