Module EO – Examen partiel du 12/11/2001

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Filtres actifs

a Gabarit

i Définition

Qu'est-ce que le gabarit d'un filtre ? Réponse

ii Filtre passe bande

Dessiner le gabarit du filtre passe bande suivant :
    fréquences de coupures basse et haute : 1 kHz et 4 kHz respectivement

    atténuation aux coupures : 3 dB

    atténuation d'au moins à 20 dB pour les fréquences inférieures à 500 Hz et pour les fréquences supérieures à 10 kHz

On prendra des coordonnées linéaires pour les fréquences et logarithmiques pour le gain. Réponse

b Filtre passe bas prototype

    Rappeler la définition des grandeurs réduites : pulsation ou fréquence réduite  ou , variable de Laplace réduite s. Réponse

    Rappeler comment passer des spécifications d'un filtre passe bande au gabarit en pulsation réduite de son filtre passe bas prototype ? Réponse

    Calculer les paramètres du gabarit du filtre passe bas prototype du filtre passe bande ci-dessus. Même réponse

    Tracer le gabarit de ce filtre passe bas prototype Réponse

c Fonction d'approximation

Soit le gabarit d'un filtre passe-bas (en pulsations réduites wr) de la figure 1 :

Figure 1

On souhaite réaliser un filtre de Butterworth répondant à ce gabarit

i Qu'est-ce qu'une fonction d'approximation

Réponse

ii Quelle est la forme générale de la fonction d'approximation d'un filtre de Butterworth ?

Quels sont ses paramètres, qu'appelle-t-on l'ordre du filtre ? Réponse

iii Paramètres de la fonction d'approximation

Déterminer les paramètres de la fonction d'approximation du filtre de Butterworth qui s'inscrit dans ce gabarit.

Quel est l'ordre de ce filtre ? Réponse

d Fonctions de transfert

Soit le filtre passe bas prototype dont la fonction d'approximation (en pulsations réduites wr) est :.

i Fonction de transfert de ce filtre

Calculer la fonction de transfert  de la variable réduite s de ce filtre passe bas Réponse

ii Fonction de transfert du filtre passe bande transposé

ii.1 Fonction de transfert en s
Calculer la fonction de transfert de la variable réduite s du filtre passe bande transposé de ce filtre passe bas et dont la largeur réduite vaut 3. Réponse
ii.2 Fonction de transfert de la variable de Laplace p
En déduire la fonction de transfert  de la variable complexe p de ce filtre passe bande Réponse

e Circuit

i Convertisseur négatif d'immittance (INIC)

Soit le circuit de la figure 2 où l'amplificateur opérationnel est parfait à tous points de vue et où R1 et R2 sont deux résistances:

Figure 2

Écrire deux relations entre les grandeurs électriquesRéponse

ii Montage

Soit le montage de la figure 3, où le bloc marqué INIC est le montage de la figure 2 où l'on a fait :

Figure 2

ii.1 Gain en tension
Calculer son gain en tension Réponse
ii.2 Filtre de Butterworth
Montrer qu'il s'agit d'un filtre passe bande. Quel est son ordre ? Réponse

Déterminer les relations qui doivent exister entre les composants du montage pour qu'il réalise un filtre de Butterworth. Réponse

2 Filtres échantillonnés

a Réponse impulsionnelle

i Définitions

i.1 Qu'est-ce que la réponse impulsionnelle d'un filtre échantillonné ?
Réponse
i.2 Qu'est-ce qu'un filtre à réponse impulsionnelle finie et un filtre à réponse impulsionnelle infinie ?
Réponse

ii Convolution discrète

Donner (sans la démontrer) l'expression de la séquence de sortie  d'un filtre échantillonné en fonction de la séquence d'entrée et de sa réponse impulsionnelle . Réponse

iii Exemple

Soit le filtre échantillonné dont la réponse impulsionnelle est la suivante :

La période d'échantillonnage est.

iii.1 Propriétés générales du filtre
Ce filtre est-il à réponse impulsionnelle finie ou à réponse impulsionnelle infinie ? Réponse

Est-il causal ou non causal ? Réponse

est-il stable ou instable ? Réponse

iii.2 Réponse à une séquence particulière d'entrée
Ce filtre est attaqué par une séquence d'entrée périodique  telle que :

oùetsont des entiers quelconques.

Quelle est la période de ce signal ? Réponse

Calculer un par un les échantillons de sortie  pour  pour . Réponse

Cette séquence est-telle périodique ? Réponse

Tracer l'allure de la séquence de sortie . Réponse

b Fonction de transfert en z

i Définition

Donner la définition de la transformée en z d'une séquence  et la définition de la fonction de transfert en z d'un filtre échantillonné. Réponse

ii Relation entrée-sortie

Quelle relation la fonction de transfert en z d'un filtre échantillonné permet-elle d'écrire entre l'entrée et la sortie de ce filtre ? (on ne demande pas de la démontrer) Réponse

iii Exemple

On considère le filtre défini par la réponse impulsionnelle  de la question précédente.

Calculer sa fonction de transfert en z. Réponse

c Gain complexe

i Définition

Donner la définition de la transformée de Fourier d'une séquence  et la définition du gain complexe d'un filtre échantillonné. Réponse

ii Relation entrée-sortie

Quelle relation le gain complexe d'un filtre échantillonné permet-elle d'écrire entre l'entrée et la sortie de ce filtre ? (on ne demande pas de la démontrer). Réponse

iii Exemple

On considère le filtre défini par sa réponse impulsionnelle  de la question précédente.
iii.1 Calculer son gain complexe 
Réponse
iii.2 Tracer l'allure des variations du module de ce gain complexe
pour  compris entre 0 et Réponse
iii.3 Quelle est la phase de ce gain complexe ?
Réponse

d Synthèse d'un filtre

Soit le filtre à temps continu dont la fonction de transfert est

On veut construire un filtre échantillonné causal dont la réponse impulsionnelle  se déduit de la réponse impulsionnelle  de ce filtre continu par échantillonnage aux instants . La période d'échantillonnage est telle que 

i Réponse impulsionnelle

i.1 Calculer la réponse impulsionnelle  du filtre à temps continu.
Rappel : La transformée de Laplace de  est Réponse
i.2 En déduire la réponse impulsionnelle du filtre échantillonné
Réponse
i.3 Ce filtre échantillonné est-il stable ?
Réponse

ii Gain complexe

    Rappeler la relation qui existe entre la transformée de Fourier d'un signal à temps continu et la transformée de Fourier de la séquence qui s'en déduit par échantillonnage avec une période d'échantillonnage . Réponse

    En déduire l'expression du gain complexe du filtre échantillonné. Réponse

    Tracer l'allure du module de ce gain complexe dans le cas où ( est la période d'échantillonnage). Réponse

e Équation aux différences

i Définition

Qu'est-ce que l'équation aux différences d'un filtre échantillonné ? Réponse

ii Relation avec la fonction de transfert en z

Comment passer de l'équation aux différences d'un filtre à sa fonction de transfert en z et inversement Réponse

iii Relation avec la réponse impulsionnelle

Comment passer de l'équation aux différences d'un filtre à sa réponse impulsionnelle ? On distinguera le cas des filtres à réponse impulsionnelle infinie et celui des filtres à réponse impulsionnelle finie. Réponse

iv Exemple

Soit le filtre dont la fonction de transfert en z est :

où est un réel positif

iv.1 À Quelle condition ce filtre est-il stable ?
On se placera dans ce cas pour la suite Réponse
iv.2 Équation aux différences
Écrire l'équation aux différences de ce filtre Réponse
iv.3 Réponse impulsionnelle
Écrire la réponse impulsionnelle  de ce filtre Réponse
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