II Méthodes de synthèse

L'objectif de ce chapitre est de montrer comment on recherche la fonction de transfert en z d'un filtre échantillonné qui doit satisfaire à un cahier des charges donné.

Deux méthodes sont décrites, l'une s'appliquant aux filtres récursifs, l'autre aux filtres à réponse impulsionnelle finie.

II.1 Filtres récursifs

La détermination de la fonction de transfert en z se fait très simplement par transposition d'un filtre continu que l'on prend comme modèle.

a Principe : transposition

Partant d'un filtre à temps continu "modèle" et de sa fonction de transfert , on construit une fonction de transfert en z correspondant à un filtre échantillonné qui lui ressemble par un changement de variable : . Le résultat, et la plus ou moins grande ressemblance, dépendra bien entendu du choix de la méthode de transposition.

i Correspondance entre les valeurs des fonctons de transfert

La valeur de la fonction de transfert en z du filtre échantillonné pour la valeur de la variable z est égale à la valeur prise par la fonction de transfert du filtre à temps continu pour la valeur du filtre à temps continu telle que . On a en effet par définition :

Dans tous les cas, on cherche à satisfaire les deux critères suivants :

ii Assurer la stabilité

Le filtre "modèle" est un circuit à temps continu stable, dont tous les pôles ont donc une partie réelle négative. La transposition doit donner un filtre échantillonné également stable, dont tous les pôles ont un module inférieur à 1. La transposition doit donc transposer le demi plan p gauche (partie réelle négative, où sont tous les pôles du filtre modèle) en l'intérieur du cercle de rayon unité du plan z, là où doivent se trouver tous les pôles du filtre transposé :

iii Assurer une ressemblance des gains complexes

Le gain complexe du filtre transposé doit suivre une loi en fonction de la fréquence qui ressemble à celle du filtre modèle.

Le gain complexe du filtre modèle est , celui du filtre transposé est .

Si on veut une correspondance simple entre les gains complexes telle que on doit avoir : . L'axe imaginaire et le cercle de rayon unité sont donc transposés l'un de l'autre dans cette transposition.

b Échantillonnage de la réponse impulsionnelle du filtre modèle

i Définition

On définit la filtre par sa réponse impulsionnelle qui résulte de l'échantillonnage de la réponse impulsionnelle du filtre modèle (à temps continu) : .

Dans ce cas, on sait que , transformée de Fourier de se déduit de , transformée de Fourier de par la relation :

Le gain complexe reproduit rigoureusement celui du filtre modèle si celui ci est à support borné et si la pulsation d'échantillonnage est supérieure à :

c Transformation bilataire

dans ce cas, la transposition est déterminée pour satisfaire les deux conditions ci-dessus. Elle s'écrit :

. On a donc
La discussion de cette transposition a été faite en TD.

II.2 Filtres non récursifs : fenêtre de pondération

Dans ce cas, on impose de trouver un filtre dont la réponse impulsionnelle soit finie (RIF).

a Principe

Partant d'un gabarit idéal et irréalisable, qui conduit à une réponse impulsionnelle infinie, on tronque cette réponse impulsionnelle en annulant tous les échantillons au delà et en deçà de certains rangs (fenêtre de pondération). On obtient ainsi une réponse impulsionnelle finie, correspondant à un filtre réalisable et qui ressemble au filtre idéal de départ. C'est la transformée de Fourier de la fenêtre de pondération qui permet de prévoir quel sera le gain complexe du filtre réalisé à partir du gabarit idéal.

i modèle idéal

Le point de départ est un gabarit de gain complexe idéal et irréalisable : coupure infiniment raide, pas de déphasage, module égal à 1 dans la bande transmise et à 0 dans la bande coupée. C'est donc une fonction simple de la pulsation, et il est facile de calculer la réponse impulsionnelle qui lui correspond.

Dans cet exemple d'un filtre passe bas, le gain vaut 1 entre 0 et et 0 au delà. On peut donc écrire :

soit

C'est une séquence infinie, dont les échantillons sont proportionnels à un sinus cardinal.

ii Fenêtre de pondération

On tronque cette séquence infinie en multipliant chacun de ses échantillons par l'échantillon de même rang d'une séquence finie telle que . Cette séquence est la fenêtre de pondération:

On obtient ainsi la réponse impulsionnelle finie dont chaque échantillon s'écrit : avec

iii Résultat

À cette réponse impulsionnelle finie correspond le gain complexe qui se déduit du gain complexe idéal et de la transformée de Fourier de la fenêtre de pondération par la relation de convolution circulaire suivante :

iv Démonstration de ce résultat

Point de départ :

Pondération :

Calcul :

mais par définition

on a donc :

v Interprétation qualitative

Cette convolution modifie la courbe de gain complexe idéale de la façon suivante :

Largeur de la transition entre bande transmise et bande coupée :

elle est de l'ordre de grandeur de la largeur de .

Oscillations du gain dans les bandes transmise et coupée

Elles sont liées aux lobes latéraux éventuels de .

b Exemple : fenêtre rectangulaire

i La fenêtre

C'est le choix le plus simple à traiter : Les échantillons de la fenêtre de pondération sont constants lorsqu'ils ne sont pas nuls.

ii Sa transformée de Fourier

Elle se calcule simplement. Nous prendrons ici . On retombe alors sur un calcul semblable à celui déjà fait pour le gain complexe correspondant à la moyenne sur N échantillons :

en posant . On a alors :

, soit :

ou bien :

C'est une fonction réelle de la pulsation. Elle est représentée ci-dessous (avec une échelle arbitraire en ordonnée) pour (on conserve 15 échantillons de la réponse impulsionnelle) : La largeur du lobe central est donné par le premier zéro (autre que ) de , soit . Dans l'exemple où on a :

. Le lobe central qui donne une indication sur la largeur de la transition entre bande transmise et bande coupée, est d'autant plus fin (transition plus raide) que le nombre d'échantillons conservés dans la réponse impulsionnelle est élevé.





iii Le filtre obtenu

Son gain complexe est donné par la convolution circulaire

(coupure à est la fréquence d'échantillonnage).

La figure suivante donne le résultat du calcul numérique de cette expression (le gain complexe est réel, il a été normalisé à 1 pour la fréquence nulle).

On constate que l'ordre de grandeur de la transition bande transmise – bande coupée est bien de l'ordre de 0,5 radian et que la coupure est bien à .

iv Rendre ce filtre causal

Le choix que l'on a fait de la fenêtre de pondération donne un filtre non causal puisque la réponse impulsionnelle contient des échantillons d'index négatif. Si le filtre doit être causal, pour travailler en temps réel en particulier, on a deux possibilités :

Retarder la réponse impulsionnelle de N périodes d'horloge

N est le nombre d'échantillons de rang strictement positif conservés.

Dans ce cas, le filtre sera caractérisé par la réponse impulsionnelle telle que .

Son gain complexe sera donc :

On constate que le filtre causal obtenu possède le même gain complexe que le précédent, à un facteur de phase (proportionnelle à la fréquence) près.

Retarder la fenêtre de pondération de N échantillons

Cette fenêtre serai définie par

Le même calcul que ci-dessus montre que la Transformée de Fourier de cette fenêtre est la même que la précédent, à un facteur de phase (proportionnelle à la fréquence) près. Mais cette transformée de Fourier intervient par une convolution dans le calcul du gain complexe résultat et il faut refaire ce calcul.

On peut prévoir que le résultat sera moins satisfaisant car les échantillons conservés ont un poids plus faible.