L'objectif de ce chapitre est de montrer comment peuvent être matérialisés des filtres échantillonnés.
Deux méthodes sont décrites, l'une entièrement analogique, l'autre faisant appel aux techniques numériques.
Elle st simple : il s'agit de remplacer une résistance, qui laisse passer un courant proportionnel à la tension entre ses bornes, par un condensateur dont une des armatures est connectée alternativement à chacun des deux points entre lesquels la résistance serait connectée. La charge que cette armature connectée alternativement permet de transporter entre les deux points est proportionnelle à la tension qui existe entre ces deux points. En moyenne, sur des temps longs devant la période de cette connexion alternative, la courant est donc lui aussi proportionnelle à cette tension et le dispositif se comporte comme une résistance. Cependant, le phénomène n'est pas continu et son étude précise nécessite l'emploi des techniques de l'échantillonné.
Supposons que le
condensateur soit connecté à gauche (tension
)
pendant une demi-période et à droite (tension
)
pendant l'autre demi période. La charge de son armature
supérieure est
lorsque
la connexion de gauche est rompue si la tension de gauche est
à cet instant, elle est
lorsque la connexion est établie à gauche, si
est la tension à gauche à cet instant : le condensateur
a donc perdu la charge
et cette charge est passée de la partie gauche du circuit à
la partie droite. Le condensateur transporte donc en moyenne
la charge
par
unité de temps, ce qui correspond à un courant moyen
tel que
,
le même que celui qui traverserait la résistance de
valeur
qui
serait connecté entre les points A et B du circuit :
Cette description est cependant une approximation : le courant n'est pas régulier mais circule aux instants de basculement de l'interrupteur. Une description précise est donc nécessaire, qui tienne compte également des caractéristiques des deux parties (gauche et droite) du circuit.
Une source de tension indépendante
est connectée au point A, qui impose une tension
.
Le point B est connecté à une résistance que
l'on peut considérer comme infinie. L'interrupteur commute de
la position gauche à la position droite aux instants
: à l'instant
il est C1 est connecté à gauche, à l'instant
il est connecté à droite . Il revient dans la position
gauche aux instants
par exemple. La charge de C2 prend une nouvelle valeur aux instants
et cette valeur reste constante jusqu'aux l'instants
puisque la charge est infinie. Il en est donc de même de la
tension
.
Soient 
et
les charges de C1 et C2
respectivement aux instants
et
,
les valeurs des tensions à ces instants.
Entre l’instant
et l’instant
,
la tension
est constante et égale à
par définition. La charge portée par l'armature
supérieure du condensateur C2) est donc :
.
À l’instant
,
C1 porte la charge
sur son armature supérieure. Lorsque les deux condensateurs
sont connectés à l'instant
,
la charge totale portée par les armatures supérieures
des deux condensateurs est conservée et leur tension commune
est par définition
.
On peut donc écrire :
Le premier membre de cette égalité est la charge totale juste avant la commutation de droite vers gauche et, le second est la charge totale juste après la commutation.
Cette égalité est l’équation aux différences du système, elle peut s'écrire :
On en déduit sa fonction de transfert en z :
soit
:
Sa fonction de transfert en z est donc :
On remarque qu’à chaque
instant de commutation, la charge de C2
est modifiée de la quantité
telle que :
ce qui correspond à un courant
moyen
pendant la période T égal à :
avec
.
Le condensateur commuté se comporte donc comme une résistance
placée entre l’entrée et le condensateur C2.
Le comportement de ce circuit peut donc être comparé à
celui d’un circuit RC série dans le domaine du temps
continu (filtre passe bas).
Le gain complexe est :
Le module de ce gain complexe est donné ci-dessous pour 3 valeurs de C1/C2 : 5 (trait continu), 1 et 0,2 :
Sa phase est donnée ci-dessous, pour les mêmes valeurs de ce rapport
Dans cette configuration, la charge de
C1, avant commutation (au temps
),
est toujours égale à 0. Aux instants
,
il faut écrire la conservation de la charge présente
sur l’armature supérieure de C2 avant commutation (
),
et de la somme de la charge sur l'armature inférieure de C1 et
de la charge sur l'armature supérieure de C2 à
l'instant
(
).
La conservation de la charge s’écrit donc (attention au
signe - par rapport au cas précédent) :
Ce qui donne la même équation aux différences que ci-dessus :
Si des techniques numériques doivent être utilisées, il faut convertir en numérique le signal à traiter, s'il est analogique, puis convertir le résultat numérique du traitement en analogique si on a besoin d'un signal de sortie analogique.
Un convertisseur numérique-analogique est un dispositif qui reçoit un mot binaire A en entrée et délivre une grandeur analogique x (tension ou courant) en sortie.
Cette grandeur analogique est
proportionnelle au nombre représenté par A :
C'est le montage montré
ci-dessous, dont les entrées peuvent être connectées
à la masse ou à une tension de référence
selon la valeur du bit correspondant du mot binaire A
On vérifie facilement que si
représente le bit numéro
de ce mot binaire on a :
et x est bien proportionnelle au nombre représenté par
A en code binaire naturel.
Il est simple : le courant dans la
résistance de rétroacion est égal à la
somme des courants dans chacune des branches d'entrée, et
chacune vaut
.
On a donc :
Le circuit précédent
présenta l'inconvénient de nécessiter
valeurs
de résistances très précises. le réseau
suivant (réseau en échelle) ne nécessite que 2
valeurs de résistance, quelle que soit la valeur de N.
Comme le montage précédent, les valeurs des bits a3, a2, a1, a0 commandent les interrupteurs qui connectent l'entrée correspondante à la masse ou à la tension de référence.
Un convertisseur analogique - numérique est un dispositif qui reçoit une grandeur analogique x (tension ou courant) en entrée et délivre un mot binaire A en sortie.
Le nombre représenté par
A est proportionnel à cette grandeur analogique:
La plupart des montages utilisent :
une conversion numérique – analogique portant sur le mot de sortie
un comparateur qui indique si le résultat de cette conversion numérique – analogique est supérieur ou inférieur à la grandeur analogique à convertir et permet de corriger cette sortie
C'est un amplificateur opérationnel à treès fort gain dont les tensions de saturations sont les niveaux logiques 0 et 1 / si l'entrée "+" est supérieure à l'entrée "-", la sortie est au niveau logique 1, elle est au niveau logique 0 dans le cas contraire.
Le mot de sortie est constitué par la sortie d'un compteur/décompteur dont la commande compte/décompte est attaquée par la sortie du comparateur. Si le mot de sortie converti en analogique par le convertisseur numérique analogique interne est trop petit, le comparateur délivre 1 et le compteur compte, jusqu'à ce que le mot de sortie devienne trop grand.
supposons que à partir d'un état
initial où la grandeur à convertir et le mot de sortie
valent 0, la grandeur à convertir subisse un saut à la
valeur
.
Le mot de sortie est alors trop petit, et le compteur/décompteur
reçoit la commande "compte", jusqu'à ce que
le mot de sortie dépasse la valeur théorique. La
commande sera alors "décompte", et ainsi de suite.
Le mot de sortie croît alors avec une vitesse imposée par la période de l'horloge comptée et la résolution (nombre de pas) du comparateur. Le temps mis pour atteindre la valeur correcte dépend de l'amplitude du saut de l'entrée x.
Le principe est le même, mais le compteur-décompteur est remplacé par un circuit dédié qui permet d'accéder le plus rapidement possible à la valeur correcte du mot de sortie.
C'est un circuit de logique séquentielle synchrone qui répond au cahier des charges suivant :
Il reçoit une entrée de commande "début de conversion" qui démarre le processus de conversion
Il délivre une variable logique "fin de conversion" qui indique que le mot de sortie est correct
Il reçoit la sortie du comparateur qui indique si son mot de sortie A est trop grand ou trop petit
La séquence d'actions réalisées par ce circuit est la suivante, en supposant que le mot de sortie est constitué des 4 bits a3a2a1a0 (a3 est le plus fort poids) :
si début de conversion
mise à 1 de a3
si trop grand : mise à 0 de a3
mise à 1 de a2
si trop grand : mise à 0 de a2
mise à 1 de a1
si trop grand : mise à 0 de a1
mise à 1 de a0
si trop grand : mise à 0 de a0
fin de conversion
On constate que la conversion se fait en un nombre de coups d'horloge indépendant de la valeur à convertir et qui ne dépend que de la taille du mot de sortie.
On cherche à obtenir la plus grande rapidité possible, même au prix d'un surcoût en matériel nécessaire. Pour cela, toutes les comparaisons avec toutes les valeurs possibles du mot de sortie sont faites simultanément et en permanence, ce qui multiplie le nombre de comparateurs. Le mot binaire résultant de cet ensemble de comparaisons est transcodé pour donner la valeur voulue du mot de sortie.
