Il s'agit de dispositifs linéaires destinés à traiter des signaux dont la valeur n'est connue qu'à des instants discrets. Ils seront représentés par une séquence de nombres, plutôt que par une fonction du temps comme dans le cas des dispositifs à temps continu. Ces séquences résultent souvent de la prise d'échantillons à des instants réguliers d'un signal continu. L'entrée des systèmes échantillonnés est attaquée par une séquence, ils délivrent ne séquence à la sortie :
L'intervalle de temps entre deux prises d'échantillons est la période d'échantillonnage (notée T dans ce texte), inverse de la fréquence d'échantillonnage.
Les échantillons sont numérotés à partir d'une origine arbitraire et seront notés x(n) où n est le numéro de l'échantillons.
Une séquence d'échantillons x(n) sera notée : {x(n)} ou plus simplement, lorsqu'aucune confusion n'est possible entre un échantillon et la séquence complète : x(n)
Les dispositifs étudiés reçoivent en entrée une séquence {x(n)} et délivrent en sortie une séquence {y(n)}
Les systèmes que nous étudierons possèdent les deux propriétés suivantes :
ils sont linéaires : si {y1(n)} est la séquence
délivrée en sortie en réponse à la séquence d'entrée {x1(n)} et {y2(n)}
la séquence délivrée en sortie en réponse à la séquence d'entrée {x2(n)},
alors la séquence délivrée en sortie en réponse à toute combinaison linéaire
d'entrée :
{a x1(n)+b x2(n)}=a {x1(n)}+b {x2(n)}
est la combinaison linéaire
{a y1(n)+b y2(n)}=a {y1(n)}+b {y2(n)}
(on a défini au passage ce qu'est une combinaison linéaire de deux séquences
: c'est la séquence dont chaque échantillon est combinaison
linéaire des deux échantillons correspondant - même
numéro - des deux séquences)
ils sont invariants dans le temps, c'est à dire
que leurs propriétés restent identiques au cours du temps.
Cela se traduit de la façon suivante :
si {y(n)} est la réponse à {x(n)}, alors la réponse à {x1(n)}={x(n-n0)},
séquence déduite de la précédente par une translation temporelle de n0 échantillons,
est {y1(n)}={y(n-n0)}, c'est à dire la réponse à la
première séquence, décalée du même nombre
d'échantillons
Si des techniques numériques sont utilisées, elles traitent en effet des séquences de nombres :
soit issus en temps réel d'un processus réel, lui-même numérique ou analogique. Dans ce dernier cas, il aura fallu convertir au préalable le signal analogique en nombre. Cette conversion se fait à des instant discrets,
soit issu d'un enregistrement préalable de valeurs (temps différé) obtenues également à des instants discrets
Comme les systèmes à temps continus, ils peuvent être caractérisés de plusieurs façons.
C'est la réponse à une séquence particulière appliquée en entrée, la séquence "impulsion unité".
Tous les échantillons de cette séquence sont nuls, sauf l'échantillon numéro 0 qui vaut 1 :
La
séquence
c'est la séquence délivrée par le système en réponse à la séquence impulsion unité appliquée en entrée.
Exemple d'une réponse impulsionnelle :
La réponse à cette séquence
L'intérêt de la réponse impulsionnelle est qu'elle permet de prévoir la réponse du système à n'importe quelle séquence d'entrée.
Elle s'exprime par une relation simple entre les échantillons de cette séquence d'entrée et ceux de la réponse impulsionnelle (relation de convolution discrète) :
Dans ces relations, h(k) est la réponse impulsionnelle.
La démonstration de cette relation repose sur la linéarité et l'indépendance temporelle :
Chacune de ces séquences est décalée et multipliée par une constante :
Dans cette expression, est
la séquence impulsion unité décalée de p échantillons.
puisque le système est invariant dans le temps, sa réponse à l'impulsion unité décalée est la réponse impulsionnelle décalée de la même quantité, et puisqu'il est linéaire, la réponse à une combinaison linéaire de séquences d'entrée est la même combinaison linéaire des séquences de sortie.
On a donc les correspondances suivantes entre entrée et sortie :
et chaque échantillon de
la séquence de sortie est par conséquent égal à :
Cette relation peut s'écrire
sous sa forme symétrique en posant
:
Un système est causal si dans la description de son fonctionnement aucune cause ne précède ses effets. Le monde réel est causal mais on peut envisager des systèmes échantillonnés non causaux dans la mesure ou le rang des échantillons dans une séquence n'est pas obligatoirement lié à l'écoulement du temps réel. C'est le cas par exemple si le système ne travaille pas en temps réel mais travaille sur des données acquises au préalable (fichier de données).
Le caractère causal ou non causal d'un système se déduit simplement de sa réponse impulsionnelle :
sialors
le système est causal puisque le calcul d'un échantillon
de rang donné n de la sortie (l'effet) ne fait intervenir que
des échantillons de l'entrée (la cause) de rang
avec
,
donc antérieurs.
dans le cas contraire, le calcul d'un échantillon de rang donné de la sortie fait intervenir au moins un échantillon "futur" de l'entrée, et le système n'est pas causal.
Un système est stable si la grandeur de sortie reste finie en valeur absolue quelle que soit la grandeur finie en valeur absolue appliquée en entrée :
tel
que si
alors
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un système soit stable est donnée par sa réponse impulsionnelle :
La condition est nécessaire :
Soit la séquence d'entrée
définie pour toute valeur du rang n par
.
On a alors, si
:
Cette
quantité doit être finie, donc la condition ci-dessus
est nécessaire.
La condition est suffisante :
Quelle que soit la séquence d'entrée bornée en valeur absolue par le réel M, on peut écrire successivement:
et la condition est bien suffisante
On distingue deux groupes de filtres échantillonnés, selon que la réponse impulsionnelle contient ou non un nombre fini d'échantillons non nuls.
Par définition, la réponse impulsionnelle de ces filtres contient un nombre fini d'échantillons non nuls. Ces filtres possèdent par conséquent certaines propriétés :
Ils peuvent être matérialisés, qu'ils soient causaux ou non, par un nombre fini d'opérations arithmétiques (additions et multiplication) et de retard (mémorisation). Ils sont donc toujours réalisables (en temps différé seulement s'ils ne sont pas causaux)
L'exemple ci dessus décrit le filtre dont la réponse impulsionnelle ne contient que les échantillons non nuls h(0), h(1), h(2). Le bloc T représente un retard d'une période d'échantillonnage, les triangles représentent des multiplications par la quantité indiquée.
Ils sont toujours stables, puisque la somme finie des échantillons de leur réponse impulsionnelle est finie.
Ils sont causaux ou non causaux, selon qu'il existe ou non des échantillons de rang négatif dans la réponse impulsionnelle.
Soit le filtre défini par l'opération suivante, qui réalise la moyenne de 5 échantillons d'entrée pour calculer la sortie :
Cette expression est l'expression de la sortie par une convolution discrète faisant intervenir la réponse impulsionnelle, avec
Il s'agit donc d'un filtre à réponse impulsionnelle finie (5 échantillons non nuls dans la réponse impulsionnelle), donc stable et réalisable , non causal (des échantillons de rang négatif dans la répons impulsionnelle : le filtre n'est pas réalisable en temps réel, il faudrait connaître deux échantillons futurs de l'entrée).
Le système est caractérisé par une équation qui donne chaque échantillon de rang n de la sortie en fonction
d'un nombre fini d'échantillons d'entrée et
d'un nombre fini d'échantillons de sortie de rang différent de n
Les deux sommes sont finies, ce qui garantit que le système est réalisable avec un nombre fini d'opérations arithmétiques et de retards.
Les différences entre les échantillons de sortie à des instants différents interviennent dans cette équation, d'où son nom.
L'équation à elle seule ne suffit pas à calculer
pour
toute valeur de n. Il faut en effet pour démarrer le calcul (par exemple
calculer
)
connaître les valeurs des échantillons de sortie à droite du signe =. Ce sont
les conditions initiales qui doivent donc être en nombre égal au nombre d'échantillons
de sortie qui figurent dans le membre de droite ordre de l'équation).
Dans ce cas, l'équation se réduit à une convolution
discrète entre l'entrée et la séquence bi Cette séquence représente donc la
réponse impulsionnelle du système, qui est donc finie par construction. Inversement,
si le système est à réponse impulsionnelle finie, les échantillons de sortie
s'expriment par cette convolution et tous les coefficients sont
nuls : une équation aux différences complète (échantillons de
sortie dans le membre de droite) représente donc nécessairement un filtre à
réponse impulsionnelle infinie (ou récursif : l'équation aux différences
est une équation récursive si les échantillons de sortie sont présents dans
le membre de droite).
Tout filtre défini par une
équation aux différences peut être matérialisé
avec un nombre fini d'opérations arithmétiques et de
retards. La figure montre le cas où il y a deux valeurs non
nulles pour lescoefficients
et
une valeur non nulle pour les coefficients
Si l'équation aux différences
n'est pas une vraie équation récursive, on a vu qu'elle
donne directement les valeurs des échantillons de la réponse
impulsionnelle (finie). Si c'est une vraie équation récursive,
on peut reconstituer la réponse impulsionnelle échantillon
par échantillon en imaginant que la séquence d'entrée
est la séquence
qui
vaut zéro pour toutes les valeurs de n sauf pour n =
0.
On prend l'équation correspondant à la figure ci-dessus :
Il faut une condition initiale, puisqu'un échantillon
de sortie figure à droite. On prend .
La séquence d'entrée est l'impulsion unité.
On peut alors calculer :
Soit le filtre défini par
l'opération suivante, qui réalise l'approximation du
calcul de l'aire sous une courbe continue
par
la méthode des trapèzes. On ne connaît que les
échantillons
de cette fonction et l'aire sous sa courbe entre deux instants
d'échantillonnage
et
est
approchée par l'aire du trapèze
(voir la figure). L'aire totale
entre l'instant origine (c'est la condition initiale) et l'instant
peut donc s'exprimer par la forme récursive :
qui
exprime qu'on a ajouté à l'aire précédente
la valeur de l'aire du trapèze entre
et
.
C'est donc bien une équation aux différences et un
filtre récursif (RII)
On peut, comme montré
ci dessus, retrouver la réponse impulsionnelle de ce filtre,
en l'attaquant par la séquence
,
avec la condition initiale
On constate que ce filtre n'est pas stable.
La transformée en z d'une
séquence
est
donnée par :
c'est une fonction de la variable complexe z.
On vérifie facilement que si l'on a
alors
Si
est
la séquence déduite de la séquence
par
décalage de
échantillons, on a
En effet,
ce qui peut s'écrire, avec le changement de variable
:
Si une séquence est la convolution discrète de deux autres séquences, sa transformée en z est le produit simple des transformées en z de ces séquences :
La fonction de transfert en z d'un filtre échantillonné est la transformée en z de sa réponse impulsionnelle.
Elle peut donc s'écrire :
On vérifie facilement que cette transformation est linéaire
Puisque la séquence de sortie est la convolution discrète de la séquence d'entrée et de la réponse impulsionnelle, la transformée en z de la sortie est le produit simple de la transformée en z de la séquence d'entrée et de la fonction de transfert en z.
où p est une variable complexe.
On trouve dans ce cas
où l'on reconnaît la transformée de Laplace de la
distibution
qui représente souvent un signal échantillonné.
Il peut se faire à partir de l'équation aux différences ou de la réponse impulsionnelle. Dans les deux cas on utilise la linéarité et la propriété de retard.
Exemple (intégration) :
On prend la transformée en z de chaque terme et on obtient :
ce qui s'écrit :
ce qui donne :
On calcule directement la transformée en z de cette réponse impulsionnelle, ce qui conduit facilement à un résultat si cette réponse est finie.
Exemple (moyenne sur 5 échantillons)
:
ce
qui peut s'écrire en posant
:
où
l'on reconnaît la somme d'une progression géométrique
:
On a donc ici (avec
et
)
:
Comme pour les circuits à temps continu, le gain complexe indique comment sont transformées les composantes spectrales du signal par le filtre, et est un cas particulier de la fonction de transfert en z.
La transformée de
Fourier d'une séquence
est
donnée par :
C'est une fonction de la variable
réelle
Soient
et
la
transformée en z et la transformée de Fourier de
la séquence
. On a :
La transformée de Fourier est
donc la transformée en z pour z placé sur
le cercle de rayon unité du plan complexe et on peut écrire
La fonction
est périodique en
,
de période
.
En effet, l'exponentielle complexe reprend la même valeur si
est incrémenté d'un multiple entier de
On peut écrire
Si la séquence x(n) est réelle, on voit sur cette expression que la partie réelle de la transformée de Fourier est :
et
est paire en
,
de la même façon sa partie imaginaire est
et
est impaire en
Cette fonction continue
est entièrement connue si on la connaît sur une
demi-période, par exemple entre 0 et
.
L'autre demi-période est déduite par symétrie,
et les autres périodes sont identiques à cette première
période. Le dessin représente la partie réelle
(rouge) et la partie imaginaire (bleue) d'une telle fonction.
On reconnaît dans la définiton
de la transformée de Fourier le développelent en série
de Fourier de la fonction périodique
dont
les coefficients sont les échantillons
.
On peut donc écrire chacun de ces coefficients comme une
composante de Fourier de
:
Une situation fréquente est
celle où la séquence
est déduite d'une fonction à temps continu par
échantillonnage aux instants
. Il est alors important de connaître la correspondance qui
existe entre la transformée de Fourier du signa continu et
celle de la séquence.
On part des définitions suivantes pour la signal continu :
la fonction continue du temps :
chaque échantillon :
: c'st la valeur du signal continu à l'instant
les
relations de transformation de Fourier dans le domaine du temps
continu (
est la transformée de Fourier du signal continu) :
en écrivant
que l'échantillon
est la valeur de la fonction continue pour
on
a :
On découpe alors l'axe des
pulsations en segments de longueur
et
l'intégrale sur la pulsation en une somme (infinie)
d'intégrales sur des domaines centrés sur
et
de longueur
:
On fait le changement de variable
ce qui donne
Mais par définition :
On a donc par identification :
Puisque la transformée de Fourier est un cas particulier de la transformée en z, elle transforme également la convolution de deux séquences en produit de leurs transformées de Fourier.
C'est la transformée de Fourier
de la réponse impulsionnelle :
Réciproquement, la réponse impulsionnelle s'exprime à partir du gain complexe :
Ce sont celles de la transformée de Fourier d'une séquence :
La convolution : séquence d'entrée réponse impulsionnelle devient un produit simple :
,
ce qui s'écrit
Le gain complexe est un cas particulier
de la fonction de transfert en z pour
: le point représentatif de z se trouve sur le cercle
de rayon unité du plan complexe z (dans le cas du temps
continu, le gain complexe est un cas particulier de la fonction de
transfert (en p) lorsque le point représentatif de p se trouve
sur l'axe imaginaire du plan complexe p).
Il est donc facile d'écrire ule gain complexe si on connaît la fonction de transfert en z.
si la
séquence d'entrée est
(échantillonnage d'une fonction harmonique de pulsation
:
)
on a :
La sortie est également une
séquence de même pulsation et la valeur du gain complexe
pour la pulsation
donne
l'amplitude et la phase de la sortie par rapport à celles de
l'entrée (d'où le nom de gain complexe).
Puisque c'est une transformée de
Fourier, le gain complexe présente les propriétés
de périodicité (période
)
et de symétrie (partie réelle paire, partie imaginaire
impaire) rencontrées plus haut. Il est en particulier
déterminé sur tout l'axe des pulsations si on le
connaît dans l'intervalle
.
On connaît la fonction de
transfert en z, elle-même
déduite facilement de l'équation aux différences
:
.
En faisant le changement de variable
on obtient alors :
Il est commode de poser
,
ce qui permet d'écrire ce résultat sous la forme :
La phase de ce gain est constante et
égale à
et son module tend vers l'infini à la fréquence nulle.
On a également déterminé la fonction de transfert, à partir de la réponse impulsionnelle :
;
On peut donc écrire :
en
posant comme ci-dessus
.
On a alors :
,
soit :
ou bien :
Ce gain est réel, ses variations
entre 0 et
sont
représentées ci dessous : il s'agit d'un filtre
passe-bas.