3 Fonction de transfert en s du passe bas prototype

a Le problème

On connait la fonction d'approximation, fonction de la variable réelle wr, il faut trouver une fonction de transfert G(s) (fonction de la variable complexe s) telle que
.
C'est la démarche inverse de celle dont on a l'habitude.

b Mode d'emploi

  1. Définir la fonction de spar le changement de variable 
  2. Rechercher les pôles et les zéros de cette nouvelle fonction.
    On remarquera que cette fonction est une fraction rationnelle paire de la variable s. Par conséquent, si sest un pôle (ou un zéro) de cette fonction, son complexe conjugué, son opposé et l'opposé de son complexe conjugué sont aussi pôle (ou zéro) de cette fonction, puisqu'ils annulent aussi le dénominateur (ou le numérateur) de cette fonction.
    Les pôles (et les zéros s'ils existent) peuvent donc être associés par quatre (ou par deux s'ils sont réels : leur conjugué est confondu avec eux-mêmes dans ce cas). Deux (un) d'entre eux ont leur partie réelle positive, les autres (l'autre) ont leur partie réelle négative.
  3. Construire la fonction de s G(s) qui possède la moitié des pôles (et des zéros s'ils existent) de cette fonction . Cette fonction est stable (pôles à partie réelle négative, à déphasage minimal (zéros à partie réelle négative), et correspond à un filtre d'ordre n.

c Vérification

Il faut vérifier que la fonction G(s) est bien telle que l'on a :
Pour alléger l'écriture, on supposera que ne possède pas de zéros.
Soient donc les groupes de 4 pôles de la fonction  repérés par l'indice i. Cette fonction s'écrit donc :

et puisque 
on peut écrire

On a par ailleurs et par la construction précédente, en supposant que si est à partie réelle négative

et 
ce qui s'écrit

On constate que l'on retrouve bien la forme ci-dessus de