Le filtre passe bas
prototype a été caractérisé. La démarche
qui suit s'applique donc à ce filtre passe bas, quelle que soit
le filtre à construire.
La fonction d'approximation
est une fonction 
de
la fréquence réduite qui :
s'inscrit dans le gabarit
est le carré du
module d'un gain complexe de la fréquence réduite.
Elle représente
donc le carré de gain complexe du filtre passe bas prototype que
l'on va construire
C'est le carré
du module d'un gain complexe, qui est lui-même une fraction rationnelle
à coefficients réels de 
.
C'est donc :
une fraction rationnelle
à coefficients réels de 
une fonction paire
de
,
c'est à dire que l'on a : 
une fonction qui tend
vers 0 à l'infini (on parle du filtre passe bas prototype) : le
degré du numérateur est inférieur au degré
du dénominateur.
une fonction qui doit
s'inscrire dans le gabarit
Si on écrit
la fonction d'approximation sous la forme :
Pour obtenir ce résultat
on a explicité le numérateur (N) et le dénominateur
(D) de la fonction rationnelle 
puis
on a utilisé le fait que le degré du dénominateur
est plus grand que le degré du numérateur. 
est
donc un polynôme ou une fraction rationnelle. C'est cette grandeur,
qui caractérise aussi bien l'allure du carré du module du
gain complexe, que l'on appelle fonction caractéristique.
Si la fonction caractéristique
est un polynôme, on dit que le filtre est polynomial. Le numérateur
de la fonction d'approximation ne possède donc pas de zéros
et le gain complexe ne s'annule qu'à l'infini.
Dans le cas contraire,
la fonction d'approximation possède des zéros (dans la bande
coupée).
Ce choix se fait en
deux étapes :
choix d'une famille
de fonctions (fonction de Butterworth, fonction de Tchebicheff, fonction
de Bessel ...). Ces familles définissent des familles de filtres
portant le même nom (filtres de Butterworth, etc.).
Ces fonctions satisfont les propriétés mathématiques
ci-dessus.
choix des paramètres
dans la famille choisie. Voir l'exemple ci-dessous.
Exemple : fonctions de Butterwoth
C'est ce type de fonction
que l'on choisira si on souhaite obtenir un filtre passe bas prototype
polynomial dont le carré du module du gain complexe décroît
de façon monotone et varie le plus lentement possible au voisinage
de la fréquence nulle.
Le numérateur
est constant (égal à 1), la fonction caractéristique
est le carré d'un polynôme (c'est donc un filtre polynomial)
de degré n dont on a annulé toutes les dérivées
à l'origine jusqu'à l'ordre n
afin d'obtenir la variation la plus lente possible. Le polynôme
est donc réduit à un monôme de degré n et
la fonction s'écrit :
On
dira que le filtre sur lequel on aboutira est un filtre d'ordre n.
Détermination des paramètres
Il y a deux paramètres
à déterminer pour satisfaire le cahier des charges : 
et
l'ordre du filtre n
Le paramètre 
.
Sa valeur est donnée par la contrainte sur le carré du module
du gain complexe à la limite de la bande transmise (coupure : 
).
On a en effet 
,
valeur qu'il faut comparer avec ce qui est imposé par le cahier
des charges. Si par exemple on souhaite une atténuation de 3 dB
à la coupure, cela impose 
L'ordre du filtre. Sa
valeur est imposée par la raideur demandée pour la transition
entre la bande transmise et la bande coupée. Si par exemple on souhaite
une atténuation au moins égale à 30 dB au dela de 
,
cela se traduit par l'inégalité (on a pris 
) :
soit 
On
choisira la plus petite valeur qui permet de satisfaire le cahier des charges,
soit 