démarche

1 Démarche et définitions

Un filtre est un système électronique linéaire, caractérisé par une fonction de transfert, dont le but est de modifier le spectre de puissance, ou la phase (ou les deux) du signal électrique x(t) appliqué à son entrée.
Partant d'un cahier des charges décrivant les spécifications du filtre à construire, il fait construire un circuit qui satisfait ces spécifications. Une étape intermédiaire obligatoire est la construction de la fonction de transfert de ce circuit.
Si le filtre est destiné à modifier la densité spectrale de puissance d'un signal, il est caractérisé par le carré du module de son gain complexe. En effet, on se souvient que si la fonction de transfert du circuit est H(p), la densité spectrale de puissance

du signal de sortie s(t) se déduit de la densité spectrale de puissance

du signal d'entrée e(t) par la relation :

a Cahier des charges : gabarit du module au carré du gain complexe

Puisque c'est le carré du module du gain complexe qui caractérise le filtre dans les cas où il est destiné à modifier les propriétés spectrales d'un signal,c'est sur ce paramètre que nous travaillerons dans ce cours, pour les familles de filtres suivantes :

i filtre idéal

Le filtre idéal pour ces familles de filtres auxquelles nous nous intéressons aurait :

un gain constant en module (égal à 1 par exemple) dans la (ou les) bande(s) transmise(s),
un gain égal à 0 dans la (ou les) bande(s) coupée(s),
un passage abrupt entre ces deux valeurs à la fréquence de coupure.
Exemple

ii filtre réel : gabarit

En réalité, un tel filtre ne peut pas physiquement exister, et le cahier des charges devra préciser les tolérances suivantes :

Ces spécifications peuvent être représentées par un gabarit dans le plan [carré du module du gain complexe, pulsation ou fréquence] à l'intérieur duquel la courbe représentant le filtre à construire devra s'inscrire. Ce gabarit est caractérisé par un petit nombre de paramètres :

fréquence ou pulsation de coupure ou
raideur de la coupure qui est le rapport entre la pulsation de coupure et la pulsation du début de la bande coupée
gain minimal permis dans la bande transmise
gain maximal permis dans la bande coupée
largeur de la bande transmise ou de la bande coupée éventuellement (passe bande ou réjecteur de bande)
Exemple

Dans l'exemple de la figure ci dessus, la courbe "carré du module du gain complexe" du filtre à construire doit s'inscrire dans le gabarit, c'est-à-dire ne pas pénétrer dans les parties hachurées, comme dans l'exemple ci-dessous :
Exemple

iii normalisations

On travaille dans l'espace des fréquences ou pulsations réduites par rapport à une fréquence ou pulsation caractéristique du filtre : sa fréquence ou pulsation de coupure pour le filtre passe bas.
pulsation réduite :

fréquence réduite :

variable complexe de Laplace réduite :

Ces grandeurs sont sans dimension, c'est ce qui fait leur intérêt.
On définit alors la fonction de transfert de la variable complexe réduite par :

où

est la fonction de transfert du filtre, ainsi que le gain complexe fonction de la fréquence ou pulsation réduite

. Le gabarit peut être défini dans cet espace des pulsations (ou des fréquences) réduites.
Exemple
Dans cet exemple, la pulsation de coupure réduite est 1 puisque les fréquences sont normalisées par rapport à cette valeur.

iv Remarque : phase du gain complexe.

Le cahier des charges peut imposer des contraintes sur la phase

du gain complexe du filtre à réaliser. Par exemple on peut chercher à obtenir

dans la bande transmise, ce qui correspond à l'absence de distorsion de phase, mais produit un retard du signal. Nous ne nous intéresserons pas à cet aspect possible du cahier des charges.

b Étape obligée : le filtre passe bas prototype.

Quel que soit le type du filtre (dans la famille des passe bas, passe haut, passe bande et coupe bande), le travail de calcul de la fonction de transfert se fera sur un filtre passe bas représentatif du filtre à construire : c'est son filtre passe bas prototype.
En effet, il existe des transpositions entre les fonctions de transfert d'un filtre passe bas et chacun des trois autres types, qui transposent leurs propriétés de la façon suivante :

i Les transpositions passe bas autre

Les méthodes de transposition sont simples et les propriétés des filtres transposés se déduisent simplement du filtre prototype. Tout se passe dans le domaine des pulsations réduites et de la transformée de Laplace réduite

Passe bas passe haut

Soit un filtre passe bas défini par sa fonction de transfert de la variable réduite

. Le carré du module de son gain complexe est

et s'inscrit dans le gabarit de la figure visible en cliquant ci-dessous :
Un passe bas
Ce gabarit est caractérisé par les points

Le circuit dont la fonction de transfert en s est

est un filtre passe haut dont le gabarit se déduit simplement de celui du filtre passe bas dont on est parti :

(pourquoi le signe "-" ?)
Le gabarit du nouveau filtre est donc le suivant :
Son transposé
C'est un filtre passe haut, dont le gabarit et le carré du module du gain complexe sont symétriques de ceux du passe bas par rapport à l'axe vertical

si les pulsations réduites sont en coordonnées logarithmiques :
Les deux filtres

Passe baspasse bande

Soit le filtre passe bas précédent défini par sa fonction de transfert de la variable réduite

.
Le circuit dont la fonction de transfert en s est

est un filtre passe bande dont la largeur de la bande transmise est B (en pulsation ou fréquence réduite) et dont les paramètres du gabarit se déduisent simplement de ceux du filtre passe bas. On a en effet :

Et par ailleurs on a :

pour

(pourquoi le signe

?)
Les limites de la bande transmise (définies par

) sont donc les solutions de

Ceci est une paire d'équations du second degré (une équation pour le signe "+", une autre pour le signe "-"). Deux des solutions sont positives, les deux autres sont négatives et symétriques des deux premières puisque

est paire. Les solutions de même signe ont les propriétés suivantes :

On constate sur l'équation ci-dessus que siest solution,l'est aussi.
Les fréquences réduites des bornes de la bande transmise sont donc inverses l'une de l'autre (symétriques par rapport àsur un axe logarithmique).
Les deux solutions positives sont . Leur différence est donc B, qui est bien la largeur réduite de bande du filtre passe bande

On trouve les mêmes propriétés pour les limites des bandes coupées, définies par les valeurs de

qui font

, ce qui conduit au même calcul où B est remplacé par kB :

Les fréquences réduites des deux limites des bandes coupées sont inverses l'une de l'autre,
Leur différence est kB

Le gabarit du nouveau filtre est donc le suivant :
Passe bande
Bien noter qu'il s'agit d'un filtre passe bas symétrique, où les fréquences de coupure haute et basse (en pulsations réduites) sont inverses l'une de l'autre. Cette transposition ne permet donc pas de traiter des filtres passe bande dissymétriques.

Passe bas coupe bande

Soit le filtre passe bas précédent défini par sa fonction de transfert de la variable réduite

.
Le circuit dont la fonction de transfert en s est

est un filtre coupe bande dont la largeur de la bande coupée est B (en pulsation ou fréquence réduite) et dont les paramètres du gabarit se déduisent simplement de ceux du filtre passe bas par une démarche identique à celle vue pour le filtre passe bande.
On a en effet :

Et par ailleurs on a :

pour

ce qui donne les mêmes équations que pour la transposition précédente et les mêmes conclusions. Le gabarit de ce nouveau filtre est donc le suivant :
Coupe bande

ii Passer du gabarit du filtre à construire à celui de son passe bas prototype

L'étape suivante, après lecture du cahier des charges et traduction éventuelle sous forme d'un gabarit, est la construction du gabarit du filtre passe bas prototype qui lui est associé. Elle se déduit des informations du paragraphe précédent.

Le filtre à construire est un passe bas

Dans ce cas, son prototype est identique à lui-même et il n'y a pas de transposition à faire.

Le filtre à construire est un passe haut

C'est la transposition la plus simple. Les étapes peuvent être schématisées ainsi :


Cahier des charges	Filtre passe haut, atténuation inférieure ou égale à 3 dB au delà de la coupure (1000 Hz), atténuation supériere à 20 dB en dessous de 500 Hz
Gabarit correspondant
Gabarit en fréquences réduites
Transposition : gabarit du filtre passe bas prototype

Le filtre à construire est un passe bande ou un coupe bande

La démarche est la même dans les deux cas. Elle est illustrée dans le cas du passe bande.
Les deux paramètres à à déterminer sont :

Soit f_c la fréquence de coupure du passe bas. On a vu que l'on a :

où

sont respectivement les fréquences de coupure réduites (basse et haute) et les fréquences de coupure réelles (basse et haute) du filtre passe bande.
On a donc

, ce qui détermine cette grandeur.
Il faut vérifier que le cahier des charges est symétrique, c'est à dire que l'on a bien

où

sont les limites des bandes coupées (250 et 4000 Hz dans l'exemple).
La raideur est est alorsdéterminée par les valeurs de

: on a en effet


Cahier des charges	Filtre passe bande, atténuation inférieure ou égale à 3 dB dans la bande transmise, limitée par les fréquences 500 Hz et 2 000 Hz, atténuation supérieure à 20 dB en dessous de 300 Hz et au dessus de 3 333 Hz
Gabarit correspondant. Le filtre est bien symétrique. La fréquence de coupure du passe bas est égale à 1000 Hz, B vaut 1,5 et le facteur k est égal à 2.022
Gabarit en fréquences réduites. On a divisé les fréquences par 1000 Hz. Ce tracé n'est pas obligatoire : on possède déjà les valeurs de tous les paramètres du gabarit du filtre passe bas prototype.
Transposition : gabarit du filtre passe bas prototype. On connait tous les paramètres : a, b, k. On constate qu'on obtient pratiquement le même prototype que dans l'exemple précédent.

iii Fonction de transfert (en s) du filtre passe bas prototype

Le filtre passe bas prototype étant spécifié, on recherche sa fonction de transfert en s. Il sera ensuite facile par les relations de transposition de trouver la fonction de transfert en s du filtre recherché, puis sa fonction de transfert (en p). Une spécification supplémentaire est cependant donnée la plupart du temps qui défini à quelle famille le filtre appartient. Cette spécification concerne l'allure de la courbe du carré du gain complexe qui s'inscrit dans le gabarit. Cette allure est donnée par la fonction d'approximation.
La connaissance de la fonction d'approximation est le point de départ du calcul de la fonction de transfert.