3. Asservissement en phase : boucle à verrouillage de phase

a. Objectif, description

Contrôle d'un oscillateur par un asservissement de la phase de l'un sur celle de l'autre. La fréquence étant la dérivée de la phase par rapport au temps, une erreur constante d'asservissement n'entraîne pas d'erreur de fréquence.

Pour qu'un tel asservissement puisse être réalisé, il faut :

b. Schéma-bloc

Le signal d'erreur est le résultat de la comparaison de la phase de l'oscillateur à asservir et de l'oscillateur. Ce signal est traité par un bloc analogique (filtre) pour obtenir les performances souhaitées et la correction est appliquée sur l'entrée de commande de l'oscillateur à contrôler. La forme la plus simple est donc la suivante :

L'entrée du dispositif est la fréquence de référence, la sortie est la fréquence de l'oscillateur asservi. Les grandeurs intermédiaires sont la tension délivrée par le comparateur de phase et la tension délivrée par le filtre.

Des variantes existent qui permettent de mettre en jeu des fréquences (référence et asservie) différentes. Il est ainsi possible d'obtenir une fréquence asservie multiple ou sous multiple de la fréquence de référence, ou une fréquence asservie qui est dans un rapport rationnel avec la fréquence de référence.

Dans l'exemple ci dessus, la fréquence asservie est égale à N fois la fréquence de référence.

Dans l'exemple ci-dessus qui utilise deux diviseurs de fréquence, on peut écrire lorsque l'asservissement est effectif :

, soit :

c. Mise en équation (sans diviseur de fréquence)

Nous nous limitons au cas le plus simple sans division de fréquence.

i Le VCO

Le VCO est modélisé de la façon suivante : la fréquence f du signal qu'il génère est la somme de sa fréquence libre fl (qui peut fluctuer) et de la correction apportée par la tension de contrôle vc :

On suppose le coefficient KVCO (radians par seconde par Volt) indépendant de la fréquence des variations de la tension de commande.

La fréquence du VCO libre est elle-même la somme de sa fréquence nominale F0 et des fluctuations df qui peuvent l'affecter :

Le bloc représentant le VCO peut donc se dessiner ainsi :

ii Le comparateur de phase

Il reçoit deux signaux de fréquences voisines en entrée et délivre une tension en sortie proportionnelle à la différence de phase entre les deux entrées. Kp est le coefficient de proportionnalité (Volts par radian). On le suppose indépendant de la fréquence des variations de la différence de phase.

iii Le filtre

Sa fonction de transfert est Kf(p).

iv La PLL

Modélisation

Elle peut donc être modélisée par le schéma bloc suivant :

On peut donc écrire les relations suivantes entres les grandeurs intervenant dans le schéma :

Il reste à connecter les fréquences et les phases puisque ces deux grandeurs interviennent dans la description du montage :

La fréquence est la dérivée de la phase : . La relation entre leurs transformées de Laplace est donc :

On peut donc écrire :

Cette expression fait apparaître les fonctions de transfert qui donnent la dépendance de la phase de l'oscillateur asservi vis à vis des phases des trois entrées et des phases initiales.

Les fonctions de transfert relatives aux fréquences peuvent s'en déduire, en remarquant que (la phase est l'intégrale de la fréquence).

Discussion
Erreur de phase, pas d'erreur de fréquence

Quelle que soit la fonction de transfert Kf(p) du filtre (non nulle à l'origine), l'effet des phases initiales s'annule aux basses fréquences (p=jw=0) pour l'expression de la fréquence contrôlée terme proportionnel à p). Ce n'est pas le cas de l'expression de la phase asservie : il peut donc exister une différence constante entre la phase asservie et la phase de référence. La fréquence étant la dérivée de la phase, cette erreur de phase n'est pas répercutée sur la fréquence.

. Nous réécrivons donc l'expression ci-dessus relative à la fréquence sans le terme lié aux erreurs de phase :

La fréquence asservie suit la fréquence de référence

Tout au moins si celle-ci ne varie pas vite devant la fréquence de coupure de l'asservissement. Le gain

tend en effet vers 1 aux basses fréquences

Les fluctuations de l'oscillateur libre sont atténuées

Le gain tend vers 0 aux basses fréquences. Les fréquences élevées ne sont par contre pas atténuées.

La fréquence nominale ne joue aucun rôle

C'est par convention une fréquence parfaitement constante, qui est donc complètement effacée par l'asservissement (fréquence des fluctuations nulles).

d. Les blocs

i VCO

ii Comparateur de phase

Signaux carrés

Exemple : comparateur à portes

Ce montage simple utilise une porte ou exclusif et délivre une sortie proportionnelle au déphasage f entre v et vr, signaux carrés, pour f compris entre 0 et p.

Soient T la période des signaux, f leur déphasage (déphasage de v par rapport à la référence vr) et v0 la valeur de tension correspondant au niveau logique 1.

Cela signifie que si vr passe de 0 à 1 à l'instant t0, v passe de 0 à 1 à l'instant . Pendant une période, l'intervalle de temps où les deux signaux sont compléments l'un de l'autre est donc :

si , et

si

La valeur moyenne du signal de sortie sur une période , proportionnelle à cette durée, est donc :

La loi de variation de la sortie s en fonction du déphasage est représentée ci-dessous :


La fonction de transfert de ce bloc n'est donc pas univoque : même valeur de la sortie pour une infinité de valeurs de l'entrée (déphasage). Lorsque l'oscillateur contrôlé est asservi, il faut vérifier que la phase est comprise entre 0 et p. La fonction de transfert est alors connue :

Que se passe-t-il si le déphasage dépasse ces limites (0, p) ?

Signaux analogiques

On réalise alors le produit des deux signaux, qui donne une composante liée à la phase :

Si on construit une troisième tension proportionnelle au produit de ces deux tensions :

Un filtre passe bas permet d'éliminer la composante à la pulsation 2w et de ne conserver que la composante proportionnelle à la phase du signal v par rapport à la référence vr :

Dans ce cas aussi, la fonction de transfert n'est pas univoque et une convention analogue doit être adoptée.

Si les deux fréquences ne sont pas égales, le résultat est un signal à la fréquence différence des deux fréquences (la phase de la sortie varie continûment).

Mélangeur à diode

Si la tension aux bornes d'une diode est vD, son courant iD est de la forme :

avec l = q/kT=40 à température ambiante et is de l'ordre de 0.1 mA.Dans le montage de la figure ci-dessous, on a et donc . On peut écrire .Si on se limite aux deux premiers termes de ce développement et on a :Si les deux tensions sont sinusoïdales, le courant dans la diode contient des composantes :

Modulateur en anneau

Le modulateur en anneau (mélangeur équilibré) utilise quatre diodes identiques. Son schéma est représenté ci-dessous.

Le signal e1 est à niveau fort : il dépasse largement le seuil des diodes, toutes identiques. Au contraire, le signal e2 est de faible amplitude, de l'ordre du seuil des diodes.

Au cours des alternances positives, les deux diodes de droite sont passantes et la tension de leur point commun vaut 0 si elles sont identiques. Le point haut du transformateur de droite est donc à 0 et le point bas à -e2.

Au cours des autres alternances, ce sont les diodes de gauche qui conduisent, leur point commun est à 0, et le point bas du transformateur de droite à e2.

On recueille donc sur le secondaire du transformateur de droite (sortie s) une tension qui reproduit e2, mais avec un changement de signe à la fréquence et à la phase de e1. C'est donc le produit de e2 par un signal carré symétrique entre 1 et -1 dont la fréquence et la phase sont celles de e1(t).

Soit c(t) cette fonction. Elle peut s'écrire sous la forme d'un développement en série de Fourier :

est la pulsation du signal e1.

La pulsation du signal e2(t) est

Le résultat de ce produit est donc

Cette somme de produits de 2 cosinus se transforme en somme de sommes de 2 cosinus dont les arguments sont la somme et la différence des arguments.


Les composante de plus basse fréquence de ce résultat sont :

Ces deux composantes sont sélectionnées par un filtre passe bas dans le cas de la modulation d'amplitude, seulement celle à la pulsation différence est sélectionnée par un filtre passe bas dans le cas du détecteur de phase.

Si les fréquences sont égales, la composante continue est proportionnelle au cosinus du déphasage.

e. Performances

i Filtre

Le choix du filtre se fait en fonction :

Il faut donc étudier la stabilité du montage

Stabilité

Les gains du montage sont donnés par la relation : . Il y a à partir de cette expression deux façons de faire apparaître un gain en boucle ouverte.

Si nous choisissons de diviser numérateur et dénominateur par , le gain en boucle ouverte est :

.

Si au contraire on choisit de diviser par p on a :

. Cette expression traduit l'idée physique que l'on se fait de la boucle, mais la première est tout aussi valable.

On peut envisager quelques cas :

Pas de filtrage

Le filtre est un amplificateur dont la fréquence de coupure est très élevée. Dans ce cas on a

ce qui correspond à un filtre passe bas du premier ordre, stable si est positif. La seule précaution à prendre est donc relative au signe de ce produit.

Filtre passe bas du premier ordre

On a et ,

Le diagramme de Bode correspondant à est le suivant (en rouge la contribution du filtre passe bas, en bleu celle du pôle à l'origine (intégrateur parfait) :

Dans ce cas de figure, on constate que la marge de phase est supérieure à 45° si le module est encore inférieur à 1 alors que la phase atteint 135 °. On constate que c'est le cas dans le cas de la figure (la pulsation de coupure du filtre est supérieure à la pulsation de gain unité de l'intégrateur). Le lieu de Nyquist a l'allure suivante :(la courbe se referme à l'infini pour )

Le diagramme de Bode correspondant à est le suivant (en rouge la contribution du filtre passe bas, en bleu celle du pôle à l'origine (intégrateur parfait) :

Dans ce cas, la courbe correspondant au demi-cercle de rayon infini est réduite à l'origine. Il y a par contre un pole à l'origine qu'il faut contourner (par un demi-cercle de rayon e par exemple). La partie du lieu de Nyquist qui lui correspond se ferme selon un cercle de rayon 1/e dans le demi-plan de droite. Dans l'exemple, la phase a tourné de moins de 135° lorsque le module atteint la valeur 1. La marge de phase est supérieure à 45°.

Filtre passe bas du deuxième ordre ordre

Nous choisissons un filtre de Butterworth :

On a donc :

Cette fois ci la phase du gain en boucle ouverte tend vers lorsque w tend vers et le lieu de Nyquist a l'allure de la figure ci-dessous .

Il coupe l'axe réel pour les valeurs de la pulsation qui annulent la partie réelle du gain en boucle ouverte :

Ce gain en boucle ouverte est réel pour et il vaut :

Le système ne sera stable que si

Performances
Pas de filtre (gain constant Kf0)

On a vu que dans ce cas il n'y a pas d'erreur systématique de fréquence. On a en effet :

Le gain tend vers 1 aux basses fréquences : la fréquence asservie suit la fréquence de référence.

Si on fait subir un échelon à la fréquence de référence, la fréquence asservie rattrape la fréquence de référence avec la constante de temps .

Ce gain tend vers 0 aux fréquences élevées. Il correspond à un filtre passe bas de fréquence de coupure .

On a par ailleurs : . Le gain vis à vis des fluctuations tend vers 0 aux fréquences nulles (élimination totale des composantes basse fréquence des fluctuations) et vers 1 aux fréquences élevées (composantes hautes fréquences des fluctuations conservées). Il s'agit d'un filtre passe haut de fréquence de coupure

Filtre passe bas du premier ordre

On a : , soit :

avec .

Il s'agit d'un filtre passe bas du deuxième ordre dont les caractéristiques dépendent des deux pulsations et

On a par ailleurs : . Il s'agit d'un filtre passe haut du deuxième ordre

ii transitoires

Plage de verrouillage

Elle est définie par la réponse à la question suivante : L'asservissement étant opérationnel, jusqu'où peut-t-on écarter la fréquence de référence par rapport à la fréquence nominale de l'oscillateur asservi avant que l'asservissement décroche ?

Accordabilité du VCO

Si la fréquence de référence est est dehors de la plage de fréquences que peut atteindre l'oscillateur à contrôler, l'asservissement ne peut bien sûr pas se maintenir.

Transmittance globale entre le détecteur de phase et le VCO

Quelle que soit la nature du détecteur de phase, la différence de phase - constante - qu'il donne dans un état donné est compris entre 2 limites (0 et p par exemple pour le détecteur à ou exclusif). À ces valeurs extrêmes correspondent des valeurs extrêmes que peut prendre la fréquence du VCO, la différence entre ces fréquences extrêmes étant le produit des phases extrêmes par la transmittance globale . L'asservissement décrochera si la fréquence du VCO tente de sortir de ces limites.

plage de capture

Cette plage définit le domaine des fréquences autour de la fréquence de référence à partir desquelles l'asservissement peut s'établir.

Établissement de l'asservissement

Si les fréquences f et fr ne sont pas égales, la sortie du comparateur de phase est un signal périodique, dont la fréquence est la différence des deux fréquences. Ce signal périodique est atténué par le filtre passe-bas, s'il existe, et il est possible qu'il n'atteigne pas la valeur correspondant à la correction de fréquence à appliquer à l'oscillateur.

Pendant une demi-période de ce signal, la tension de commande appliquée sur le VCO rapproche sa fréquence de la fréquence de référence, alors que pendant l'autre demi-période, elle l'éloigne. Pendant la demi-période où la fréquence de l'oscillateur se rapproche de la fréquence de référence, la fréquence instantanée du signal issu du comparateur de phase diminue, alors qu'elle augmente pendant l'autre demi-période : les deux demi-périodes ne sont donc pas symétriques et l'effet moyen sur une période, compte tenu du filtrage passe bas, est une diminution de la différence des fréquences. La fréquence de l'oscillateur à asservir se rapproche donc de plus en plus de celle de l'oscillateur de référence

Il est ainsi possible d'arriver jusqu'à l'égalité des deux fréquences.

Plage

Ce mécanisme ne peut se produire que si le signal appliqué sur le VCO est d'amplitude suffisante. La plage de capture peut donc être limitée par la bande passante du filtre