3. Oscillateurs quasi sinusoïdaux : régime stabilisé - approximation du premier harmonique

Nous faisons l’hypothèse qu’une oscillation a pris naissance, son amplitude a augmenté puis s’est stabilisée grâce aux non linéarité du montage qui sont apparu lorsque l’amplitude est devenue suffisamment importante. Nous sommes donc dans un régime non linéaire, que nous pouvons linéariser si certaines conditions sont respectées.

a. Principe

Lorsque les non linéarités apparaissent, elles se manifestent par l’apparition de distorsions qui déforment la signal oscillatoire. Si un élément sélectif existe dans le montage, l’oscillation déformée est filtrée et peut redevenir quasi sinusoïdale. L’approximation consiste alors à négliger les harmoniques autre que le fondamental dans l’oscillation, ce qui permet de définir un gain et de remplacer l’élément non linéaire par un équivalent linéaire équivalent pour ce premier harmonique.

b. Exemple

Reprenons l’exemple de l’oscillateur de Robinson où nous introduisons un limiteur à la sortie de l’amplificateur de tension. C’est ce limiteur qui est l’élément non linéaire

i Le limiteur

Ue limiteur est un dispositif qui limite l'excursion d'un signal, le plus souvent une tension. Il délivre en sortie une tension qui reproduit la tension appliquée en entrée tant que la valeur absolue de cette tension d'entrée est inférieure à un seuil v0. Au contraire, si la valeur absolue de la tension d’entrée est supérieur à v0, la tension de sortie est limitée à selon le signe de l’entrée.

ii Schéma du montage

Le schéma du montage est donc le suivant :

iii Système linéaire équivalent

En supposant qu’une oscillation existe, le limiteur distord la tension s et fait apparaître des harmoniques supérieurs. Si la fréquence de l’oscillation est voisine de la fréquence de résonance du circuit bouchon, celui-ci présente une impédance élevée pour le fondamental (premier harmonique) et beaucoup plus faible pour les autres harmoniques qui sont donc fortement atténués par le pont diviseur sélectif. L’approximation du premier harmonique consiste à ne considère que le premier harmonique dans l’ensemble du montage. On va voir qu’il est alors possible de remplacer le composant non linéaire par un composant linéaire équivalent pour ce premier harmonique mais dont le gain dépend de l’amplitude de l’oscillation. Cette équivalence est donc valable

  1. Pour le fondamental de l’oscillation

  2. Pour une amplitude donnée de l’oscillation.

Plaçons nous pour simplifier le calcul dans le cas où l’amplitude du signal sinusoïdal (car filtré comme décrit ci-dessus) à l’entrée du limiteur est très grande devant le seuil v0. Dans ce cas le signal délivré par le limiteur est très proche d’un signal carré et l’amplitude du fondamental (qui sera seul conservé par le pont diviseur sélectif) est égale à . (voir la décomposition d'un signal carré en série de Fourier). Si ve est l’amplitude de la sinusoïde appliquée à l’entrée du limiteur, le gain complexe du limiteur pour le fondamental (défini comme le rapport entre l’amplitude complexe du premier harmonique du signal de sortie et celle du signal d’entrée) est donc . On constate que ce gain dépend de l’amplitude ve.

Si le limiteur travaille dans les conditions décrites ci -dessus (le signal délivré par le limiteur est très proche d’un signal carré) et si E est l'amplitude du signal quasi-sinusoïdal appliqué en entrée de l'amplificateur de tension, le gain du dispositif linéaire équivalent à l’ensemble non linéaire ampli – limiteur est alors :

.

c. Régime stabilisée

On suppose :

Le système linéaire équivalent est alors le siège d’oscillations d’amplitude constante : il possède donc deux pôles complexes conjugués à partie réelle nulle. On peut alors lui appliquer le critère de Barkhausen, qui peut s'exprimer de l'une des deux façons suivantes :

  1. Le système linéaire équivalent possède deux pôles complexes conjugués à partie réelle nulle (ils sont imaginaires)

  2. Le point est sur le lieu de Nyquist de B(p). A est défini par le gain équivalent du système non linéaire au régime établi.

La première description s'applique dans les cas où l'on peut mener jusqu'au bout le calcul des pôles, la deuxième peut s'appliquer dans tous les cas, en particulier si le calcul de l'expression analytique des pôles n'est pas possible. Il donne en plus des informations sur le comportement de l'oscillateur au voisinage de son régime établi

i Calcul direct : exemple de l'oscillateur de Van der Pol
Le composant non linéaire

On considère maintenant la non linéarité du dipôle à résistance négative. Pour pouvoir mener le calcul jusqu'au bout, nous faisons l'hypothèse que sa caractéristique courant-tension s'exprime simplement par (dipôle en N) :

La linéarisation

On fait l'hypothèse que le circuit résonant parallèle présente une forte impédance au fondamental du signal oscillatoire, ce qui privilégie ce fondamental et justifie l'application de l'approximation du premier harmonique :

La tension aux bornes de chaque composant (en particulier le dipôle en N) est quasi-sinusoïdale, à une fréquence voisine de la résonance du circuit parallèle. On l'exprime donc par :

Le courant dans le dipôle est donc :

Le terme en correspond à la distorsion et ne développe aux bornes du circuit résonant qu'une tension négligeable. L'approximation du premier harmonique consiste ici à négliger ce troisième harmonique.

Dans cette approximation, le courant traversant le dipôle linéarisé est :

et son équation fonctionnelle est :

Il est donc équivalent à un dipôle linéaire résistif dont la conductance est fonction de l'amplitude V de la tension à ses bornes :

Critère de Barkhausen

Il suffit donc d'écrire la condition de Barkhausen avec cette valeur de conductance :

ce qui donne les deux équations :

La fréquence de l'oscillation est donc égale à la fréquence de résonance du circuit parallèle, l'amplitude de l'oscillation V satisfait l'équation :

ii Plan de Nyquist : exemple de l'oscillateur de Robinson

Dans le cas du montage de Robinson, on a identifié la chaîne d'action (g(E))et la chaîne de réaction B(p). Les équations sont simples et peuvent conduire au calcul direct :

et

Si l'on écrit que le point est sur le lieu de B(p), cela donne :

Cette équation complexe recouvre les deux équations suivantes (g(E) est réel) :

La première de ces deux équations donne la fréquence de l'oscillation, égale à la fréquence de résonance du circuit bouchon, ce qui justifie l’hypothèse initiale (la fréquence d’oscillation est proche de la fréquence de résonance). La deuxième donne l’amplitude E de l’oscillation en fonction des paramètres du montage.

d. Écart au régime stabilisé dans le plan de Nyquist

Le facteur A du gain en boucle ouverte dépend de l’amplitude E de l’oscillation. Dans l’exemple de l’oscillateur de Robinson, il s’agit de g(E).

Dans le plan de Nyquist, il n’y a plus un simple point critique, mais un lieu des points critiques, ensemble des valeurs possible de pour E variant de 0 à l’infini.

Pour que l’oscillation démarre, il faut que la partie de ce lieu pour E=0 et les petites valeurs de E soit à l’intérieur du lieu de B.

Pour qu’un régime stable d’amplitude constante puisse être atteint, il faut que le lieu de croise celui de B(p) lorsque E augmente, afin que l'égalité .puisse être satisfaite.

La valeur de E en ce point de croisement, s’il existe, donne l’amplitude de l’oscillation. La valeur de w en ce point de croisement, s’il existe, donne la pulsation de l’oscillation.