Ce chapitre concerne l’étude de systèmes volontairement instables et dont le comportement est oscillatoire. Ils constituent les oscillateurs quasi sinusoïdaux qui fournissent une grandeur électrique dont l’amplitude oscille périodiquement dans le temps, en l’absence de toute excitation d’entrée. Le système oscillant est le plus souvent fortement non linéaire : une méthode d’étude de systèmes non linéaires est présentée.
Un composant est non linéaire si son équation fonctionnelle est elle-même non linéaire :
Une résistance, dont l’équation
fonctionnelle
est linéaire, est un composant linéaire. Si cependant
l’équation fonctionnelle fait intervenir la puissance
troisième du courant :
ce composant n’est alors pas linéaire (quelle est la
dimension de r ?).
La diode est un composant fortement non linéaire : son équation fonctionnelle n’est pas représentée par une droite dans le plan [v,i].
La méthode d’étude que nous adoptons ici est simple : nous chercherons à linéariser le ou les composants non linéaires, ce qui est fait habituellement dans l’approximation des petits signaux.
La résistance ci-dessus est linéarisée et
représentée par le composant linéaire d’équation
tant que le terme non linéaire
peut être négligé devant le terme linéaire
,
c’est à dire tant que le courant i (et donc la tension v)
est suffisamment petit :
On retrouve ici l’approximation habituelle des petits signaux.
La diode peut être représentée lorsqu’elle est bloquée par une résistance de forte valeur. Lorsqu’elle est polarisée en direct, elle peut être représentée par une résistance en série avec une source de tension. On a donc dans cet exemple aussi linéarisé le composant, après avoir identifié deux domaines de fonctionnement différents (diode en inverse, diode en direct). Une linéarisation différente, donc un schéma équivalent différent, s’applique dans chacun des deux domaines.
C’est un dipôle, caractérisé par une relation donnant le courant entrant en fonction de la tension à ses bornes :
indépendante du temps (c'est donc un dipôle résistif),
dont la courbe représentative présente une portion de pente est négative. Cette portion est équivalente à la caractéristique d’une résistance (éventuellement en série avec une source) mais dont la valeur est négative.
Dipôle en N
Dipôle en S
La diode tunnel présente une caractéristique de ce type (en N). On peut également faire la synthèse d’un tel dipôle, en utilisant par exemple un convertisseur négatif d’immittance (INIC) et en imposant une non linéarité :
Un dipôle en S
Lorsque la sortie de l’amplificateur n’atteint pas les tensions Zener (supposées symétriques +vz et –vz), le montage se comporte comme un dipôle dont la caractéristique i(v) est une droite de pente négative égale à -1/r (résistance négative).
Lorsque l’un ou l’autre des seuils Zener est atteint, la sortie de l’amplificateur est fixée à l’une des valeurs +vz eou –vz et le dipôle est équivalent à la source +vz ou –vz en série avec la résistance R (pente 1/R).
La caractéristique globale est en S.
L’objectif de ce chapitre est de concevoir et étudier les propriétés de systèmes réactifs instables dans lesquels une oscillation quasi sinusoïdale apparaît spontanément. Son amplitude est croissante (exponentiellement) tant que le système reste dans le domaine de l’approximation des petits signaux à l’intérieur duquel il a été conçu. Lorsque l’amplitude de l’oscillation devient assez importante pour que des non linéarité apparaissent, il est possible que l’amplitude de l’oscillation tende vers une valeur stable. On a alors fabriqué un oscillateur quasi sinusoïdal.
Nous étudierons ces dispositifs dans les deux cas limites :
dans l’approximation des petits signaux, qui est l’approximation habituelle. Il est alors possible de prévoir leur instabilité et leur comportement vis à vis d’une impulsion de bruit,
dans son régime stabilisé, en supposant qu'il en existe un. Dans ce régime, l’amplitude de l’oscillation est constante. Cette étude sera faite en linéarisant le dispositif autour de son point de fonctionnement dans l’approximation dite du premier harmonique.
L'étude du démarrage est l’application directe de l’étude de la stabilité des systèmes du chapitre précédent. Sur un circuit donné, on va rechercher les conditions qui
le rendent instable : il existe des pôles à partie réelle positive,
provoquent un comportement oscillatoire (et non pas une croissance exponentielle monotone vers la tension de saturation) : il doit donc exister au moins deux pôles complexes conjugués à partie réelle positive.
Nous envisagerons deux démarche :
le calcul direct des propriétés des pôles, lorsque c’est possible,
l’étude des propriétés des pôles par la méthode de Nyquist.
Si on met la fonction de transfert (ou l'immittance) sous la forme
d’une fraction de deux polynômes en p (variable de
Laplace) N(p) et D(p) et si le dénominateur D(p) n’est
pas de degré trop élevé ou possède une
forme que l’on peut traiter analytiquement, il suffit alors
d’étudier les zéros de D(p) puisque ce sont les
pôles de la fonction de transfert. Il faut donc résoudre
l’équation
On a alors à résoudre une équation du deuxième degré.
Dans ce cas, il y aura deux racines complexes conjuguées à partie réelle positive si :
le déterminant de l’équation du deuxième degré est négatif (racines complexes),
la somme des racines, qui vaut deux fois leur partie réelle est positive.
Si les pôles sont complexes conjugués mais à
partie réelle nulle (ils sont alors de la forme
),
le comportement sera oscillatoire, mais d'amplitude constante
(l’enveloppe de l’oscillation qui apparaît en réponse
à une impulsion de bruit est constante). Cette condition est
obtenue en écrivant l’équation
ci-dessus et en imposant en plus que les solutions sont de la forme
.
Cette équation s’écrit donc :
C’est l’expression du critère de Barkhausen.
Cette équation est une équation complexe, qui
recouvre deux équations : il faut annuler la partie
réelle et la partie imaginaire de
:
C’est un dipôle constitué de la mise en parallèle d’une résistance négative et d’un circuit résonnant RLC
Oscillateur de Van der Pol
Puisqu’on est dans l’approximation linéaire des petits signaux, le dipôle à résistance négative est représenté par une résistance de valeur négative –r et on peut se placer dans le domaine de Laplace.
Puisque le montage est un dipôle, il est caractérisé
par une immittance. On cherche à établir les conditions
pour lesquelles une tension oscillatoire v prend naissance aux bornes
du circuit, en l’absence de courant extérieur appliqué
i. On calcule donc l’impédance .
Le courant i est la somme des courants passant dans chacun des 4 composants en parallèle :
On a posé G=1/R, g=1/r
et on a donc :
Il faut alors étudier les zéros du dénominateur
de cette impédance, solutions de l’équation du
deuxième degré en p :
.
Le critère de Barkhausen s’écrit dans ce cas :
,
équation équivalente au système de deux
équations :
qui donnent la pulsation de l’oscillation d’amplitude constante qui prend naissance en réponse à une impulsion de bruit et la condition sur g et G pour que l’on soit dans cette condition limite.
On aura des pôles complexes conjugués si le déterminant de cette équation du deuxième degré en p est négatif :
La partie réelle de ces pôles sera positive ou nulle si la somme des racines est positive ou nulle :
Ces deux conditions imposent que g soit à l’intérieur du domaine :
Pour une valeur donnée de g à l’intérieur
de ce domaine, la partie imaginaire des pôles, qui donne la
pseudo pulsation de l’oscillation d’amplitude croissante
qui prend naissance, est donnée par le module du déterminant
divisé par 2 :
On retrouve bien les résultats donnés à la
limite g=G par le critère de Barkhausen.
Puisqu’on linéarise le système dans la limite des petits signaux, on est dans les conditions où la méthode de Nyquist a été établie dans le chapitre précédent. On peut donc l’appliquer directement pour étudier l’instabilité du montage. Il est cependant plus difficile dans le cas général de prévoir le type d’instabilité (oscillation ou saturation ?).
Habituellement, on représente le lieu du gain en boucle ouverte Gbo(p) lorsque la variable complexe p parcourt le contour de Browich (lieu de Nyquist), puis on étudie la position du point critique de coordonnées -1 et 0 par rapport à ce lieu.
Il est pratique, pour les applications liées aux oscillateurs, de mettre le gain en boucle ouverte sous la forme d’un produit de deux facteurs dont l’un contient la dépendance en p et l’autre, indépendant de p, dépend en général du gain du montage :
puis de tracer le lieu de Nyquist de B(p). Il faut alors étudier
ce nouveau lieu, déduit du précédent par une
homothétie, par rapport à un nouveau point critique qui
se déduit du précédent par la même
homothétie : c’est le point critique
.
Une modification des paramètres de gain du montage se traduit
alors simplement par un déplacement du point critique, sans
qu’il soit nécessaire de retracer le lieu de Nyquist.
On suppose que l’on a pu exploiter pleinement la méthode de Nyquist, c’est à dire que l’on connaît le nombre de pôles à partie réelle positive.
Si le nombre de pôles à partie réelle positive (pprp) est impair, il y a forcément au moins 1 pprp réel. Cette situation n’est pas favorable au démarrage certain d’une oscillation.
Si le nombre de pprp est pair, ce sont peut-être tous des paires de pôles complexes conjugués, mais il est possible qu’il y ai des paires de pôles réels (de valeur différente). Dans tous les cas la situation n’est pas favorable au démarrage d’une oscillation : plusieurs oscillations peuvent démarrer de façon concurrente dans le premier cas, le second cas est comparable au cas impair ci-dessus. Il faut donc se placer (si c’est possible) dans des conditions qui produisent une seule paire de pprp dont la position dans le plan complexe détermine les conditions de démarrage..
Si le nombre de pprp est égal à 2 (cas recommandé ci-dessus), peut-on savoir s’ils sont complexes conjugués ou réel ?
Si le lieu de B(p) tourne deux fois autour du point critique
et que les deux tours se croisent sur l’axe réel, on peut
prévoir qu’en modifiant la valeur de A (supposée
réelle) on fait sortir le point critique des deux tours en
même temps. Les deux pôles ont donc même partie
réelle. Il peut donc s’agir de deux pôles complexes
conjugués ou d’un pôle réel double.
C’est un oscillateur constitué d’une réaction sélective autour d’un amplificateur de tension.
Oscillateur de Robinson
Le gain en boucle ouverte est facilement calculé en remarquant que la chaîne d'action (gain k) et la chaîne de réaction (pont diviseur constitué par R0 et le circuit résonant parallèle) sont facilement identifiables. Il faut cependant faire attention au signe.
Le gain du pont diviseur est :
où Z est l’impédance du circuit bouchon et Y son
admittance (gain du pont diviseur). Le gain en boucle ouverte est
donc (attention au signe) :
On peut alors poser dans les notations précédentes
:A = k et
.
Le calcul de Y(p) donne alors :
Dont le lieu (vérifiez le) est constitué de deux boucles superposées croisant l’axe horizontal :
en 0 (pour 
)
et
en 
(pour 
)
Le montage aura donc deux pôles ou aucun pôle à
partie réelle positive selon que le point critique
est ou non à l’intérieur de cette boucle.
Il est à l’intérieur (ou à la limite)
pour
